I Olimpíada Matemática del Cono Sur

Uruguay. 1989

1

Dos triángulos isósceles cuyos lados miden x, x, a y x, x, b, respectivamente, tienen igual área; a b. Hallar x.

2

Hallar la suma 1 + 11 + 111 + 111...111, que tiene n sumandos.

3

Un número p se dice perfecto si la suma de sus divisores, exceptuando al propio p, da como resultado p. Sea f una función tal que:

• f(n) = 0 si n perfecto
• f(n) = 0 si las cifras de las unidades de n es 4
• f(a.b) = f(a) + f(b)

Calcular f(1988).

4

Se considera un número n de cuatro cifras, cuadrado perfecto, tal que todas sus cifras son menores que 6. Si a cada cifra se le suma 1, el número resultante es otro cuadrado perfecto. Hallar n.

5

En el cuadrado ABCD se consideran las diagonales AC y BD. Sea P un punto cualquiera perteneciente a uno de los lados. Demostrar que la suma de las distancias de P a las dos diagonales es constante.

6

Demostrar que reduciendo las dimensiones de un ladrillo no se puede obtener otro que tenga, al mismo tiempo, la mitad del volumen y la mitad de la superficie del primero.

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