Ronda Clasificatoria
23 de Octubre de 1997

Resolver la ecuación

2 (5 puntos)

Una colección de 500 números reales posee la siguiente propiedad: cualquier número de esta colección es mayor que 1/5 de la suma de los restantes.
Encontrar la cantidad mínima de números negativos que pertenecen a la colección.

3 (5 puntos)

Un polinomio p(x) con coeficientes reales es tal que la ecuación p(x)=x no tiene raíces reales. Demostrar que la ecuación p(p(x))=x tampoco tiene raíces reales.

4 (6 puntos)

El área de un trapecio es igual a 2 y la suma de las diagonales es igual a 4. Encontrar la altura del trapecio.

5 (6 puntos)

Hallar todas las funciones reales f(x) definidas en el intervalo [a,b] que tienen las siguientes tres propiedades:

1. f(x) es continua y tiene segunda derivada en el intervalo [a,b].
2. f(a) = f(b) = 0.
3. f''(x) = e^x f(x).

6 (7 puntos)

¿Cuál es mayor, 300! ó 100³⁰⁰?

7 (7 puntos)

Demostrar que cualquier intervalo abierto contiene dos puntos tales que la serie

converge en uno de ellos y diverge en el otro.

Archivo de Enunciados Página Principal	Olimpíada Matemática Argentina    www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar