1. ¿Es posible, en el plano, pintar de rojo cuatro puntos y pintar otros cuatro puntos de negro de manera tal que cada tres puntos del mismo color (rojo o negro) haya un punto del otro color tales que esos cuatro puntos son los vértices de un paralelogramo?

(3 Puntos)

2. Decidir si existen tres números primos distintos, p, q, r tales que p² + d es divisible por el producto q.r, q² + d es divisible por r.p y r² + d es divisible por p.q si

(2 Puntos)

(2 Puntos)

3. Demostrar la desigualdad

5 Puntos.

4. a) Un cuadrado se parte en triángulos rectángulos, todos iguales entre si, con un cateto de longitud 3 y el otro cateto de longitud 4. Demostrar que la cantidad de triángulos es par.

2 Puntos.

b) Un cuadrado se parte en triángulos rectángulos, todos iguales entre si, con un cateto de longitud 1 y el otro cateto de longitud 2. Demostrar que la cantidad de triángulos es par.

4 Puntos.

5. Decidir si existe un número natural A de seis dígitos tal que ninguno de los 500000 números

termina en seis dígitos todos iguales entre si (es decir, ninguno termina en ...000000, ninguno termina en ...111111, etc.)

8 Puntos.

6. La tarjeta del "Loto matemático" es un cuadrado cuadriculado de 36 = 6 x 6 casillas. El apostador coloca seis cruces en seis casillas de la tarjeta y las envía al concurso. En el diario se publica la tarjeta oficial, con seis cruces marcadas que indican las seis casillas perdedoras. El apostador gana si no ha colocado ninguna cruz en una casilla perdedora.

a) Demostrar que el jugador puede llenar 9 tarjetas de modo tal que por lo menos una de ellas sea ganadora.

5 Puntos.

b) Demostrar que 8 tarjetas no son suficientes para asegurarse de ganar.

5 Puntos.

1. ¿Se pueden pintar los vértices de un cubo, cuatro de rojo y los otros cuatro de negro de modo tal que todo plano que pasa por tres puntos de un mismo color (rojo o negro) contiene un vértice del otro color?

(3 Puntos)

2. a) Demostrar la desigualdad

Para todo natural n > 2.

3 Puntos.

b) Hallar tres números enteros positivos a, b, c tales que

Para todo natural n > 2.

3 Puntos.

Aclaración: n! = 1.2.3.4. ... .n, por ejemplo,
3! = 1.2.3 = 6, 4! = 1,2,3,4 = 24, etc.

3. Sean A', B', C', D', E', F' los puntos medios de los lados AB, BC, DE, EF, FA de un hexágono convexo ABCDEF, no necesariamente regular, respectivamente.

Se conocen las áreas de los triángulos ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Hallar el área del hexágono ABCDEF.

5 Puntos.

4. Demostrar que no existe ninguna función y = f(x), ni siquiera una discontínua, tal que f (f(x)) = x² - 1996 para todo x real.

10 Puntos.

5. a) En una isla circular hay cuatro puertos: 1, 2, 3 y 4, numerados en el sentido de las agujas del reloj. En la isla hay una red plana de calles, todas ellas de una sola dirección, tal que no hay rutas cíclicas: cuando se abandona un puerto o una encrucijada (un cruce de calles o una bifurcación), es imposible regresar a ese punto. Para todo par de puertos i, j, sea f_(i,j) el número de rutas distintas, que no pasan dos veces por un mismo punto, para viajar de i a j, demostrar que:

f_(1,4) . f_(2,3) f_(1,3) . f_(2,4)

4 Puntos.

Aclaración: Red plana significa que no hay calles que se crucen a distinto nivel (no hay puentes ni tuneles).

b) Si en la isla hay seis puertos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, en el sentido de las agujas del reloj, demostrar que

6 Puntos.

6. La tarjeta del "Loto matemático" es un cuadrado cuadriculado de 100 = 10 x 10 casillas. El apostador coloca diez cruces en diez casillas de la tarjeta y las envía al concurso. En el diario se publica la tarjeta oficial, con diez cruces marcadas que indican las diez casillas perdedoras. El apostador gana si no ha colocado ninguna cruz en una casilla perdedora.

a) Demostrar que el jugador puede llenar 13 tarjetas de modo tal que por lo menos una de ellas sea ganadora.

5 Puntos.

b) Demostrar que 12 tarjetas no son suficientes para asegurarse de ganar.

5 Puntos.

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