7ma Competencia de Clubes Cabri
Segunda Ronda

16 de mayo de 1998

1

Dividir un triángulo equilátero en partes de forma tal que con dichas partes se formen 2 hexágonos regulares iguales.

2

Construir la siguiente figura donde las tres circunferencias grandes tienen el mismo radio y todas las circunferencias son tangentes entre si.

3

Dado un rectángulo ABCD y un punto E en AB construir con regla y con compás el rombo EFGH donde F, G y H pertenecen a BC, CD y DA. Explicar los pasos de la construcción y justificar porque EFGH construido es un rombo.

4

Si en el problema anterior ABCD es un cuadrado, ¿qué figura geométrica es EFGH además de ser rombo? Explicar por qué.

5

Construir un triángulo ABC dados A, M_A (el punto medio de BC) y O (el circuncentro de ABC).

6

Dado un hexágono ABCDEF regular, sea P un punto en AB. Se trazan r₁ y r₂ rectas por P perpendiculares a CD y EF respectivamente. Sea G la intersección entre r₁ y BC y H la intersección entre r₂ y FA. Probar que AH = GC.

7

Dado un triángulo A₁B₁C₁ cuyo circuncentro es O₁, se traza A₂B₂C₂, el triángulo de los puntos medios de A₁B₁C₁ cuyo circuncentro es O₂. Análogamente se definen A₃B₃C₃ y O₃, A₄B₄C₄ y O₄, etc. Demostrar que todos los O_i están alineados.

8

Dado un cuadrado ABCD, sea P un punto en su interior. Se construye el punto E como la intersección (distinta de P) entre las circunferencias de diámetros PA y PC. Se construye el punto F como la intersección (distinta de P) entre las circunferencias de diámetros PB y PD.

1. Hallar el lugar geométrico de P para que EF sea máximo.
2. Hallar el lugar geométrico de P si EF mide la mitad del lado del cuadrado.
3. Hallar el lugar geométrico del punto medio de EF si P es interior al cuadrado.

9

Dividir un hexágono regular en partes de manera de formar 4 hexágono regulares iguales. ¿Cuál es la menor cantidad de partes?

10

Construir un triángulo isósceles ABC (AB = BC) tal que el triángulo formado por AC y las mediatrices de AB, BC tenga igual área que el triángulo ABC.

11

Sea ABC un triángulo, se trazan las circunferencias C_AB, C_BC y C_CA de centro A que pasa por B, de centro B que pasa por C y de centro C que pasa por A respectivamente. Sea r_AC la recta que pasa por las intersecciones de C_AB y C_BC. Sea r_AB la recta que pasa por las intersecciones de C_BC y C_CA. Sea r_BC la recta que pasa por las intersecciones de C_CA y C_AB. Demostrar que dichas rectas concurren.

12

Dado un cuadrado ABCD, sean M_AB, M_BC, M_CD y M_DA los puntos medios de AB, BC, CD y DA respectivamente. Probar que las rectas AM_BC y AM_CD dividen al segmento M_ABM_DA en tres segmentos iguales.

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