7ma Competencia de Clubes Cabri
Primera Ronda

3 al 13 de Abril de 1998

1. Construir la siguiente figura donde ABCDEF es un hexágono regular y G, H, I son los puntos medios de AB, CD y EF respectivamente.

2. Justificar por qué la superficie de GHI es menor que la mitad de la superficie de ABCDEF.
   Pista: Dividir a GHI y a ABCDEF en pedacitos iguales (misma forma y tamaño).
   
   
3. Justificar por qué el perímetro de GHI es menor que el perímetro de ABCDEF.
   
   
4. Dividir un cuadrado en cuadraditos iguales de manera tal que con todos los cuadraditos se pueden formar dos cuadrados.
   
   
5. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadraditos para el problema anterior? Justificar.

6. Dada una circunferencia y P un punto exterior a la misma, construir todos los triángulos isósceles PBC con BC diámetro de la circunferencia. Justificar.
   
   
7. Construir la siguiente figura, donde los dos cuadrados interiores son iguales.

8. Dividir un hexágono regular, de forma tal que reacomodando todas las partes obtenidas se formen 3 hexágonos regulares de igual tamaño.
   
   
9. ¿Cuál es la menor cantidad de partes en las que se necesita dividir un hexágono para resolver el problema anterior? Justificar.
   
   
10. Construir un rectángulo ABCD tal que la recta perpendicular por A a BD y la recta perpendicular por B a AC dividan al segmento CD en partes iguales.

11. Dado un hexágono regular ABCDEF, sean m_ab, m_bc, m_cd, m_de, m_ef y m_fa los puntos medios de AB, BC, ..., FA respectivamente. Hallar la relación entre las áreas del triángulo formado por las rectas m_ab m_bc, m_cd m_de y m_ef m_fa y el hexágono regular ABCDEF.
    
    
12. Dada una circunferencia. y un triángulo ABC inscripto en ella. Sea D tal que DB y DC son rectas tangentes a la circunferencia. Sea O el circuncentro de DBC. Hallar la medida del ángulo BOD en función de la medida del ángulo BAC.
    
    
13. Dado un triángulo ABC, sea P un punto en AB construir un punto D tal que el área de CPD sea igual al área de ABC.
    
    
14. Construir un rectángulo ABCD tal que la recta perpendicular por A a BD y la recta perpendicular por B a AC y CD son concurrentes.
    
    
15. Hallar las áreas de las diferentes piezas formados en la construcción anterior, si el área de ABCD es 300. (Son 8 piezas.) Justificar.

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