6^ta Competencia de Clubes Cabri

Ronda Final

1^er nivel

1

Construir la siguiente figura donde ABCDEFGH es un octógono regular y HI =  BJ =  DK =  LF =  lado del cuadrado IJKL.

Hallar y justificar la relación:

2

Sea ABCD un cuadrado y el punto P en su interior, se trazan las mediatrices de PA, PB, PC y PD formándose un cuadrilátero EFGH.

1. Hallar el lugar geométrico de P si algún vértice del cuadrilátero EFGH pertenece al perímetro de ABCD.
2. Hallar el lugar geométrico de P si el cuadrilátero EFGH es un trapecio.

3

Dado un triángulo ABC, construir un punto D en BC de manera tal que si E pertenece a AC y DE es perpendicular a AC y F pertenece a AB y DF es perpendicular a AB entonces DEF es un triángulo isósceles.

4

Sea ABC un triángulo y C^I el simétrico de C con respecto a A, C^II el simétrico de C^I con respecto a B, C^III el simétrico de C^II con respecto a C, C^IV el simétrico de C^III con respecto a A y C^V el simétrico de C^IV con respecto a B. Probar que C^V coincide con C.

2^do Nivel

5

Dado P, Q y R puntos del plano. Construir un triángulo equilátero ABC tal que P, Q y R pertenezcan a las semirrectas AB, BC y CA respectivamente, pero no pertenezcan al perímetro de ABC.

6

Dados dos segmentos AB y CD construir todos los triángulos ABS tales que si P en AS es tal que AP / AS = 1 / 4 y Q en BS es tal que BQ / BS = 3 / 4 entonces PQ = CD.

7

Sea ABC equilátero y P un punto sobre AB. Construir el cuadrado PQRS de modo que Q esté en CA y S esté en BC.

1. ¿Para qué puntos P es eso posible?
2. ¿Cuál es el lugar geométrico de los centros del cuadrado al mover P sobre AB?

Hallar P para que el área de PQRS sea mínima.

8

Sea A₁A₂...A_2n un 2n-gono regular y un punto B₁.
Sea B₂ el simétrico de B₁ con respecto A₁.
Sea B₃ el simétrico de B₂ con respecto A₂.
Sea B_2n el simétrico de B_{2n- 1} con respecto A_{2n- 1}.

i) Probar que A_2n es punto medio de B₁B_2n.

ii) Demostrar que B₁B₃...B_2n-1 y B₂B₄...B_2n son n-gonos regulares iguales.

iii) Probar que el per(B₁B₃...B_{2n- 1}) = per(B₂B₄...B_2n) = per(A₁A₂...A_2n).

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