6^ta Competencia de Clubes Cabri

Primera ronda

1^er nivel

1. Construir la figura donde las tres circunferencias tienen igual radio y ABCD es un rombo con AB = AC.

2. Dado un triángulo ABC se trazan los puntos medios de las medianas. Probar que el triángulo formado es semejante a ABC y hallar la razón de semejanza.

3. Dada una circunferencia C, un punto A en su interior y un punto B perteneciente a C. Se construyen los tres rectángulos (R₁, R₂ y R₃) que tienen como vértices a A, B y otro punto de la circunferencia (A y B son vértices consecutivos).

Probar que área(R₁) + área(R₂) = área(R₃).

4. Si al paralelogramo ABCD (AB = AC = AD) se le trazan las mediatrices de sus lados se forma un paralelogramo A’B’C’D’. Averiguar la razón de semejanza entre los paralelogramos ABCD y A’B’C’D’.

5. Dada una circunferencia C, de centro O y un punto P en su interior, construir un trapecio ABCD (AB // CD) inscripto en C tal que P sea la intersección de sus diagonales y los ángulos APB y COD midan lo mismo.

2^do Nivel

6. Construir la siguiente figura donde ABC es equilátero y PQOX, STOR y VWOU son cuadrados.

7. Demostrar que en la figura anterior AP = TU.

8. Dado los segmentos AB y CD, construir un punto P tal que la intersección de la mediatriz de AP con la recta AB es C’ y la intersección de la mediatriz de BP con la recta AB es D’ y los segmentos C’D’ y CD midan lo mismo.

9. Dada una circunferencia C, y una cuerda AB fija en ella. Sea C un punto del mayor arco AB. Sean D y E las intersecciones de la circunferencia y las bisectrices de los ángulos ABC y BAC respectivamente. Probar que la longitud de DE es fija.

10.Construir todos los triángulos ABC tales que los seis puntos que dividen a cada uno de los lados en tres segmentos iguales pertenecen a una misma circunferencia. Justificar porque no hay más triángulos que cumplan dicha propiedad.

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