5^ta Competencia de Clubes Cabri

Ronda Final

1^er nivel

1. Dividir un hexágono regular en la menor cantidad posible de triángulos rectángulos. Justificar por qué con menos triángulos rectángulos no se puede.

2. Dadas dos circunferencias C y C’ (que se cortan) y un punto A en C, construir el paralelogramo ABCD con B en C y C, D en C’, de tal manera que la recta AD incluya a un punto de intersección entre C y C’.

3. Dada una circunferencia C y un punto P en el interior del círculo,

1. Construir un trapecio ABCD inscripto en C tal que BC // DA, AC =  BC + DA y P sea la intersección de sus diagonales.
2. Probar que el circuncentro del triángulo PAB pertenece a la circunferencia C.

4. Dado un triángulo ABC, se toma un punto P₁ sobre BC. Sean P₂ en CA (P₁P₂ // AB), P₃ en AB (P₂P₃ // BC), P₄ en BC (P₃P₄ // CA) y P₅ en CA (P₄P₅ // AB).

Hallar todos los puntos P₁ de tal forma que el triángulo P₃P₅A sea semejante a ABC.

2^do Nivel

5.

1. Dada una circunferencia C y un punto A en el interior del círculo construir todos los rombos ABCD con B, C y D en la circunferencia.
2. Hallar A para que la suma de los perímetros de los rombos, antes mencionados, sea máxima.

6. Dado un triángulo acutángulo ABC, se traza la circunferencia que pasa por A y es tangente a BC en A’ y AA’ es diametro, que interseca a AB en E y AC en F; se traza la circunferencia que pasa por B y es tangente a CA en B’ y BB’ es diametro, que interseca a BC en G y BA en H y se traza la circunferencia que pasa por C y es tangente a AB en C’ y CC’ es diámetro, que interseca a CA en I y CB en a J. Probar que el triángulo formado por las rectas FG, HI, JE es semejante al ABC.

7. Sea DEFG un cuadrado. Se consideran los triángulos equiláteros ABC con A perteneciente a DE, B perteneciente a EF y C perteneciente a FG.

Hallar el lugar geométrico de M, punto medio de AC, al variar el triángulo equilátero ABC.

8. Construir un cuadrilátero ABCD a partir de G₁, G₂, G₃ y G₄ baricentros de los triángulos ABC, BCD,CDA, DAB respectivamente.

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