5^ta Competencia de Clubes Cabri

Segunda ronda

1^er nivel

1. Dado un triángulo ABC y una circunferencia C. Inscribir en dicha circunferencia un triángulo A’B’C’ semejante a ABC.

2. Dado un triángulo ABC y un punto D en AB construir un rombo DEFG con E en BC y FG en CA. ¿Qué condiciones debe cumplir D para que exista dicho rombo?

3. Dado un triángulo ABC. Construir un punto P tal que rPA por A, sPB por B, tPC por C, determinan un triángulo semejante a ABC.

4. Sea C una circunferencia (de centro O) y A y B puntos en ella. Sea O’ tal que A es el punto medio de OO’ y B’ tal que A sea punto medio de BB’. Hallar el lugar geométrico de M (punto medio de O’B’),

1. si A se mueve en C.
2. si B se mueve en C.

2^do Nivel

5. Dado un rectángulo ABCD, dividirlo en dos rectángulos semejantes, pero no congruentes. ¿Qué condiciones debe cumplir ABCD para que sea esto posible?

6. Dada una circunferencia C y ABC un triángulo inscripto en ella, sea P en C y A’B’C’ el simétrico de ABC con respecto a P (A a A’, B a B’, C a C’). Hallar el lugar geométrico de P para que la suma de las áreas de los cuadriláteros ACA’C’, CBC’B’ y BAB’A’ sea mínima y cuanto es ese valor.

7. Dado un triángulo isósceles ABC (AB =  BC) construir el triángulo equilátero A’B’C’ inscripto en ABC (A’ en BC, B’ en AC, C’ en AB) de perímetro mínimo. Justificar por qué es mínimo dicho perímetro.

8. Se tiene un cuadrilátero y el cuadrilátero de los puntos medios de sus lados. Demostrar que tienen el mismo baricentro. Nota: El baricentro de un cuadrilátero es el punto medio del segmento formado por los puntos medios de sus diagonales.

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