1^era Competencia de Clubes Cabri

Ronda final

1^er nivel

1.

i. Dados tres puntos A, B y C no alineados, encontrar puntos A’, B’ y C’ en BC, AC y AB respectivamente de manera que los triángulos ABC y A’B’C’ tengan el mismo baricentro.

ii. Dados tres puntos A, B y C no alineados, encontrar puntos A’, B’ y C’ en BC, AC y AB respectivamente de manera que los triángulos ABC y A’B’C’ tengan el mismo circuncentro.

2. Dado un paralelogramo ABCD, encontrar cuatro puntos A’, B’, C’ y D’ todos interiores al paralelogramo tales que las ternas de puntos A A’ D’, B B’ A’, C C’ B’ y D D’ C’ están alineados; y los polígonos ADD’, DC’C, CB’B, AA’B y A’B’C’D’ tienen áreas iguales.

3. Construir una circunferencia de centro O. Sean AB y SJ dos diámetros perpendiculares, en el arco menor BS tomar H variable. Para cada H se determinan F, la intersección entre AH y SB y T la intersección entre SA y BH.

i. Demostrar que TF y AB son ortogonales.

ii. Hallar el lugar geométrico del circuncentro de FSH.

 

2^do nivel

4. Dado un triángulo ABC, encontrar el lugar geométrico de los puntos P interiores al triángulo tales que d(P, BC) = d(P, AC) + d(P, AB).

Nota: d(P, BC) es la distancia de P a la recta BC.

5. Construir una circunferencia y tomar un punto A fijo sobre ella. Trazar una recta r variable por A que sea secante a la circunferencia en A y B. Construir un trapecio isósceles ABCD de bases AB y CD tal que AD = DC = 1/2 AB.

i. Demostrar que la recta BC pasa por un punto fijo.

ii. Hallar el lugar geométrico de C.

iii. Se traza por D una recta t perpendicular a AC. Sea P el punto de intersección entre t y AB. Se toman J en la semirrecta AB y X en la semirrecta PD tales que AJ = PX. Demostrar que la mediatriz de JX pasa por el incentro del triángulo APD.

6. Construir un triángulo ABC, y luego encontrar puntos A’, B’ y C’ en BC, AC y AB respectivamente tales que A’B’ sea perpendicular a BC, B’C’ sea perpendicular a AC y C’A’ sea perpendicular a AB.

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