14ta Competencia de Clubes Cabri
Segunda Ronda

9 de junio de 2001

Nivel A

1

Dada una circunferencia de centro O y radio r, construir dos puntos A y B sobre ella de modo que AB = 3/2 . r.

2

Si en el problema anterior r = 8, hallar el área del triángulo AOB.

3

Construir la siguiente figura donde el ángulo BAC = 90°, AB = AC = DB y CD = CE.

4

En el problema anterior hallar la medida de los ángulos del triángulo DEA.

5

En la figura del problema 3 se traza desde A una recta perpendicular al segmento DE, que lo interseca en el punto P. Hallar la medida del ángulo BPA.

Nivel B

6

Construir la siguiente figura, formada por un trapecio isósceles y dos circunferencias, tangentes entre sí.

Además, AD y BC son diámetros de las circunferencias y DC = 3 . AB.

7

Si en el problema anterior el radio de las circunferencias es 2,

1. ¿Cuánto vale el área del trapecio?
2. Hallar la distancia desde el punto de tangencia de las circunferencias a la recta AC.

8

Sea ABC un triángulo acutángulo; sean D y E los pies de las alturas desde B y C respectivamente. Las bisectrices de CDB y CEB se cortan en P. Demostrar que CPB es un triángulo rectángulo isósceles.

9

Sea ABC un triángulo y P un punto en su interior. Sea M el punto medio de PB. Hallar el lugar geométrico de los puntos P de modo que área (ABP) + área (BMC) = ½ . área (ABC).

Nivel C

10

1. Construir la siguiente figura formada por 3 circunferencias de radio 1 tangentes entre sí y tangentes a los lados del rectángulo.
2. Hallar la medida de los lados del rectángulo.

11

Sea ABC un triángulo, construir un punto P en su interior de modo que:

· Área (APC) = 1/5 área (ABC)

· Si M es el punto medio de PA entonces área (ACP) = área (AMB)

12

Sea ABC un triángulo acutángulo y sea r una recta que pasa por A y es perpendicular a BC. La mediatriz de AC corta a r en P y la mediatriz de AB corta a r en Q. Sea M el punto medio de AB. Sabiendo que AP = PQ, probar que AMC + CAP = 90°.

13

Sea K una circunferencia de centro O y P un punto en su exterior. Sea A un punto sobre K. La mediatriz de AP interseca a la paralela a AP que pasa por O en el punto Q. Hallar el lugar geométrico del punto Q a medida que A se mueve sobre K.

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