12^ma Competencia de Clubes Cabri
Ronda Final

8 de julio de 2000

Duración: 2.30hs

1

Construir la siguiente figura donde CD = DE = EF = 1 y AF = 3 . BC.

2

Hallar el perímetro y el área de la figura del problema 1.

3

Sea ABCDEF un hexágono regular y sean M, N y O los puntos medios de AB, CD y EF respectivamente. Si el área del hexágono es 8 hallar el área del triángulo MNO.

4

Sea ABCD un trapecio con AB y CD paralelos, y sea M el punto medio de BC. El segmento DM se interseca con AC en P. Sabiendo que el área de ACD es 8 y que el área de MPC es 1, hallar el área de APD.

5

Sea ABC un triángulo con AB = AC. Sea M el punto medio de AB y sea N sobre la prolongación de AC de modo que 2 . AN = AC. La recta NM interseca a BC en P.

1. ¿Cuánto mide el ángulo que forman las rectas NP y BC?
2. Hallar MN / MP.

6

Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 y BC = 3. Sea M el punto medio de AB y sea N en BC tal que CN=1. Hallar la medida del ángulo MDN.

7

Sea ABCD un trapecio con AB // CD. Sea P la intersección de las bisectrices de A y D; sea Q la intersección de las bisectrices de B y C. Si AB + CD = k y AD + BC = m, hallar la longitud de PQ en función de k y de m.

8

Dadas tres rectas r, s y t que se cortan en un punto G. Construir los puntos A, B y C sobre r, s y t respectivamente de modo que la recta AG pase por el punto medio de BC y tal que BG sea bisectriz de ABC.

9

Sea ABCD un cuadrilátero tal que para todo punto P en su interior se cumple la siguiente propiedad: la suma de las áreas de ABP y CDP es siempre la misma. Demostrar que el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

10

Sea ABCD tal que AD = BC. Sea M la intersección de la mediatriz de AC con la de BD. Sea N y O los puntos medios de BD y AC respectivamente. Demostrar que los triángulos ADM, BCM y MNO son semejantes.

11

Sea ABC un triángulo y sea S la intersección de sus bisectrices. La recta AS interseca a la circunferencia circunscrita a BCS en S y en D. Sea P el simétrico de D con respecto al punto medio de BC. Demostrar que PS es perpendicular a BC.

12

Sea ABCD un cuadrilátero convexo y sea M y N los puntos medios de AB y CD respectivamente. Demostrar que MN y las diagonales de ABCD se cortan en un único punto sí y sólo si AB // CD.

13

Sea ABC un triángulo acutángulo y sean P y Q dos puntos en el segmento BC tal que BP < BQ. Construir dos puntos R y S sobre las rectas AB y AC respectivamente de modo que se dé la siguiente igualdad de ángulos PRB = SRA y RSA = QSC.

14

Sea ABC un triángulo escaleno y sea P un punto fijo en su interior. Hallar el lugar geométrico de todos los puntos Q interiores a ABC de modo que:

d(Q, AB) + d(Q, BC) + d(Q, CA) = d(P, AB) + d(P, BC) + d(P, CA)

Aclaración: d(R, MN) es la distancia desde el punto R a la recta MN.

15

Sea ABC un triángulo acutángulo con AC > BC. Sea D el pie de la altura desde A y sea E en AC tal que BE = AD. Sea P la intersección de AD con BE y sea H el ortocentro de EAP. Demostrar que AHD = HDB.

Aclaración: El ortocentro de un triángulo es la intersección de sus alturas.

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