11^ma Competencia de Clubes Cabri
Ronda Final

30 de octubre de 1999

Duración: 2.30hs

1

Construir la siguiente figura donde ABCD es un cuadrado y DEBF es un rombo cuya área es igual a la mitad del área del cuadrado. (4 puntos)

2

Sea ABCD un trapecio con AB // DC tal que AB = AC = AD y BCD = 105°. Hallar los ángulos internos de ABCD y construirlo. (4 puntos)

3

Sea ABCD un cuadrilátero tal que ADC = 45°, DCB = 90°, DAB = ABC y CD = 1. Hallar los posibles valores de AD - BC. (5 puntos)

4

ABC es un triángulo de perímetro 10 y de modo que la distancia de A a la recta BC es 3. Por A se traza una recta r paralela a BC. La bisectriz de B interseca a r en D y la bisectriz de C interseca a r en E. Hallar el área de BCDE. (6 puntos)

5

Sea ABCD un trapecio isósceles con AB // DC y DA = AB = BC = 1 y DC = 2. Dividir la figura en 3 piezas de modo que se pueda armar con ellas, sin superposiciones ni agujeros, un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide el lado del triángulo equilátero? (6 puntos)

6

a) Construir la siguiente figura, donde ABC es un triángulo tal que Ð ABC = 90° y Ð BAC = 60°; C₁ es tangente a los 3 lados del triángulo; y C₂ es tangente a AB, AC y a C₁. (2 puntos)

b) Si el radio de C₂ es 1 hallar el radio de C₁. (3 puntos)

7

Dadas dos rectas r y t que se cortan en un punto A y un punto P que no pertenece a r ni a t, construir los puntos B y C sobre r y t respectivamente de modo que P sea la intersección de las medianas de ABC. (4 puntos)

8

Sea ABC un triángulo con AC > AB. La paralela a AC por B interseca a la bisectriz exterior de BAC en D. La paralela a AB por C interseca a dicha bisectriz exterior en E. Sea F en el segmento AC de modo que FC = AB. Demostrar que FD = FE. (5 puntos)

9

Sea ABCD un cuadrilátero convexo y sea P un punto en el segmento CD. Por C se traza una recta paralela a BP que interseca a la recta por D paralela a AP en un punto O. Hallar el lugar geométrico de O a medida que P se mueve por CD. (5 puntos)

10

Sea ABC un triángulo y sean P y Q sobre AC y BC respectivamente. Sean M y N los puntos medios de AP y CQ respectivamente. Sabiendo que Ð QAC = Ð QMN demostrar que los triángulos PQM y MQC son semejantes. (6 puntos)

11

a) Dada una circunferencia K y dos puntos A y B de modo que la recta AB no corte a la circunferencia, construir el punto C sobre K de modo que el área de ABC sea mínima. (2 puntos)

b) Sea D sobre K de modo que el área de ABD sea máxima. Hallar la diferencia entre las áreas de ABD y ABC en función de AB y del radio de K. (2 puntos)

12

Dadas dos semirrectas r y t de origen O y un punto P en el interior del ángulo formado por ellas, construir un triángulo OTR con R en r y T en t de modo que la recta OP pase por el punto medio de RT y tal que PR sea bisectriz de ORT. (4 puntos)

13

Sea ABC un triángulo acutángulo. Sea H el pie de la altura desde B, M el punto medio de AC y sean D y E las intersecciones entre la bisectriz de B y las perpendiculares a la misma por A y C respectivamente. Demostrar que DMEH es un cuadrilátero cíclico. (5 puntos)

14

Sea K una circunferencia, sea P un punto en su interior y sea A sobre K. La recta que pasa por P y A interseca nuevamente a K en el punto B. Las tangentes a K por A y B se cortan en O. Hallar el lugar geométrico de O a medida que A se mueve sobre K. (6 puntos)

15

Sea ABC un triángulo y sea I el incentro. Demostrar que si AB + IC = AC + BI entonces AB = AC.

ACLARACIÓN: El incentro de un triángulo es la intersección de las bisectrices de sus ángulos interiores. (7 puntos)

Archivo de Enunciados Página Principal	Olimpíada Matemática Argentina    www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar