R A M A V E R D E I X
Siguen los ejercicios:
4) En el ejercicio 3, consideramos números triangulares consecutivos, los
elevamos al cuadrado y sumamos los resultados.
Ahora, en lugar de sumar los resultados, los restamos.
¿Qué se puede decir de esto?
2 2
(a) Hallar ( T(3) ) - ( T(2) ) . ¿Es un número triangular? ¿Qué propiedades
tiene el resultado?
2 2 2 2
(b) Hallar ( T(5) ) - ( T(4) ) y ( T(4) ) - ( T(3) ) .
Probar con otros números triangulares consecutivos, ¿se ve alguna regularidad?
(c) Formular una conjetura: 2 2
( T(n+1) ) - ( T(n) ) = ................
5) (a) Hallar la sucesión aritmética de la que se obtienen los números penta-
gonales (al tomar sumas apropiadas).
(b) Hallar una expresión para el n-ésimo número pentagonal.
(c) Hallar el 30º número pentagonal.
(d) Sea P(n) el n-ésimo número pentagonal.
(i) Probar que P(5) = Q(5) + T(4); P(6) = Q(6) + T(5).
(ii) Ilustrar con un diagrama que P(5) = Q(5) + T(4).
(iii) Probar que P(n) = Q(n) + T(n-1).
6) (a) Mostrar que 8 T(2) + 1 = Q(5) y 8 T(3) + 1 = Q(7).
(b) Mostrar que 8 T(n+1) = Q(2n+1).
7) (a) Hallar la diferencia entre P(6) y Q(6).
(b) Hallar P(n) - Q(n) para valores de n. ¿Se pueden tipificar los resulta-
dos?
(c) Conjeturar: P(n) - Q(n) = ......................
8) Verificar que T(3) = 2 T(2)
Hallar otros dos números triangulares tales que uno es el doble del otro.
9) Considerar los números hexagonales:
. . . .
. .
. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
1 6 15 28
(a) ¿De qué progresión aritmética se pueden derivar los números hexagonales?
(b) Sea H(n) el n-ésimo número hexagonal.
(i) Hallar H(6)
(ii) Hallar una expresión de H(n) en función de n.
10) En el diagrama se ilustra una sucesión de números llamada sucesión de la
estrella resplandeciente: .
. .
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. . .
. . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . .
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. .
.
1 8 21
La sucesión se forma análogamente a la de los números triangulares, cuadrados
y pentagonales que ya vimos.
(a) Hallar la sucesión aritmética de la que se forman los números de la
estrella resplandeciente.
(b) Sea U(n) el término n-ésimo:
(i) Hallar U(4) e ilustrarlo con una estrella.
(ii) Hallar una fórmula de U(n) e ilustrarlo en función de n.
(c) (i) Mostrar que U(6) = Q(6) + 4 T(5) y U(10) = Q(10) + 4 T(10).
(ii) Mostrar que U(n) = Q(n) + 4 T(n-1) para n _ 2.
DESAFIO
La configuración de los asteriscos es la de los números triangulares:
(a) *
* * *
* * * * * *
. . . . . . . . .
Y(1) = 3 Y(2) = 6 Y(3) = 10
(i) Hallar el diagrama correspondiente a Y(5).
(ii) Hallar la fórmula que calcula Y(n).
(iii) Hallar Y(20).
(b) .
. .
. * * *
* * . * * .
. * . . . * . .
Z(1) = 6 Z(2) = 15
(i) Hallar la fórmula que calcula Z(n).
(ii) Hallar Z(20).
