R A M A B L A N C A I
Hoy trabajamos un problema en apariencia inofensivo pero a través del
mismo proponemos distintos recursos que permiten aprovechar el trabajo reali-
zado para estimular la creatividad.
PROBLEMA:
En el corral de la escuela-granja hay corderos y gansos.
El maestro manda a Esteban y Angelita a contar los animales.
Cada uno cuenta a su manera. Cuando regresan, Esteban dice que contó 192 patas
y Angelita, que contó las cabezas, llegó a 60.
¿Cuántos animales de cada clase hay en el corral?
PRIMERA SOLUCION:
Si hay "c" corderos y "g" gansos, tenemos
4.c + 2.g = 192 patas
c + g = 60 cabezas
De la segunda relación g = 60 - c que reemplazada en la primera nos dice
4.c + 2.(60 - c) = 192 ; 4.c + 120 - 2.c = 192 2.c + 120 = 192
c = 36; g = 24.
SEGUNDA SOLUCION:
Confeccionamos la siguiente tabla, teniendo en cuenta que las cabezas deben
sumar 60.
------------------------------------------------
| corderos | gansos | total |
| cabezas | patas | cabezas | patas | de patas |
|---------|---------|---------|-------|----------|
| 50 | 200 | 10 | 20 | 220 | (son demasiadas)
|---------|---------|---------|-------|----------|
| 20 | 80 | 40 | 80 | 160 | (son pocas)
|---------|---------|---------|-------|----------|
| 25 | 100 | 35 | 70 | 170 | (son pocas)
|---------|---------|---------|-------|----------|
| 30 | 120 | 30 | 60 | 180 | (son pocas)
|---------|---------|---------|-------|----------|
| 35 | 140 | 25 | 50 | 190 | (faltan 2 patas)
|---------|---------|---------|-------|----------|
| 36 | 144 | 24 | 48 | 192 | (justo)
|_________|_________|_________|_______|__________|
TERCERA SOLUCION:
En lugar de hacer toda la tabla podemos suponer que si hubiera 50 cor-
deros y 10 gansos habría 60 cabezas pero 220 patas; sobran 28 patas.
Cada vez que cambiamos un cordero por un ganso disminuimos en 2 el número de
patas pero mantenemos el número de cabezas.
Con este dato inicial vamos bajando el número de corderos sin cambiar
la suma:
49 corderos y 11 gansos tienen 218 patas
45 corderos y 15 gansos tienen 210 patas
40 corderos y 20 gansos tienen 200 patas
35 corderos y 25 gansos tienen 190 patas
36 corderos y 24 gansos tienen 192 patas
CUARTA SOLUCION:
Podríamos suponer que los gansos se paran en una pata y los corderos
en las patas traseras; ahora tendríamos 60 cabezas y 96 patas.
Como los gansos tienen una sola pata en la tierra, las patas que quedan
(96-60) corresponden cada una a un cordero; hay entonces 36 corderos y 24
gansos.
Es muy probable que si el maestro se limita a dar el enunciado del
problema y deja a los alumnos un tiempo saludable para la resolución (sin tra-
tar de inducir la solución que él cree correcta) aparecerán algunas de estas
soluciones.
Para un aprovechamiento total del trabajo conviene que cada alumno, en
un breve párrafo, relate cómo llegó a la solución expuesta incluyendo los in-
tentos previos, aunque éstos hayan sido infructuosos.
La confección de esta síntesis le será útil para examinar el hilo de
su pensamiento y para revisar el método que utilizó.
Después de expuestas estas soluciones se puede intentar modificar
ligeramente las condiciones del problema y decidir cuáles de los caminos pro-
puestos tienen aún validez y si se pueden intentar otros.
Por ejemplo, si el número total de cabezas no fuera par, ¿servirían
todos los caminos propuestos?
¿Se podría usar el hecho de que ambos números son múltiplos de 4 para
reducir el problema? ¿Y múltiplos de 12?
R A M A B L A N C A I I
Construimos ángulos de una medida dada usando sólo la escuadra y el
compás, y las propiedades de las figuras regulares.
Presentamos un ejemplo con dos soluciones propuestas, y ejercicios
análogos.
EJEMPLO: Construir un ángulo de 75º.
PRIMERA SOLUCION
* Dibujamos un ángulo recto Ó.
* Trazamos su bisectriz. Obtenemos los ángulos á = ç = 45º.
* Dibujamos un triángulo equilátero ABC. Tenemos el ángulo A = 60º.
* Trazamos la bisectriz de A. Obtenemos los ángulos ë = î = 30º.
* Sumamos ç y ë: ç+ë = 75º.
SEGUNDA SOLUCION
__
* En un segmento AC marcamos un punto B.
__ __
* Por B trazamos un segmento MB perpendicular a AC.
__
* Sobre BC y dentro del ángulo recto MBC dibujamos el triángulo equilátero
BCD.
* El ángulo MBD = 30º.
* Trazamos la bisectriz de ABM. Obtengo los ángulos Ó = á = 45º.
* MBD + Ó = 75º.
PROBLEMITAS: Construir
a) Ó = 105º.
b) á = 165º.
c) ç = 135º.
d) ë = 150º.
R A M A B L A N C A I I I
UN MISMO PLANTEO RESUELVE DISTINTAS SITUACIONES PROBLEMATICAS
EJEMPLO 1
En un rectángulo, el largo es el doble del ancho y el perímetro es de
360 m. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
El planteo de este problema lleva a la ecuación
a + 2 a = 180 ( a = ancho del rectángulo )
Planteada la ecuación, el maestro puede dar otros enunciados alterna-
tivos:
1. A la feria benéfica de la escuela cada chico debía concurrir con un adulto.
Los adultos pagan $2 y los chicos $1 de entrada.
Se recaudaron $180. ¿Cuántos chicos fueron a la feria?
2. Tengo igual cantidad de monedas de 5 ctvos. que de 10 ctvos. y entre las 2,
tengo $9. ¿Cuántas monedas de cada clase tengo?
Resulta interesante que a continuación los alumnos, individualmente o
en equipos, propongan enunciados alternativos para el mismo planteo y que la
clase los discuta.
R A M A B L A N C A I V
UN ROMPECABEZAS DE TRIANGULOS
En cartón o cartulina construimos varios triángulos rectángulos isós-
celes (t) congruentes entre sí.
Juntando dos de estos triángulos podemos construir un cuadrado (c);
un paralelogramo y un triángulo más grande (t) también isósceles y rectángu-
lo.
¿Cuántos de estos triángulos necesito para construir
a) un cuadrado más grande C ?
b) un triángulo más grande T ?
Una vez construidos, establecer la proporción entre
i) los lados del cuadrado chico (c) y del cuadrado grande (C).
ii) El perímetro del cuadrado chico (c) y del cuadrado grande (C).
iii) El área del cuadrado chico (c) y del cuadrado grande (C) .
Idem para el triángulo original (t) y el grande (T).
El ejercicio se puede repetir usando:
i) Triángulos isósceles cualesquiera.
ii) Triángulos equiláteros.
iii) Triángulos escalenos.
¿Qué figuras se pueden obtener? Comparar.
R A M A B L A N C A V
Completar los casilleros vacíos para que los productos horizontales
(filas) y verticales (columnas) sean iguales entre sí.
___________
| 3 | 4 | |
|---|---|---|
| | 9 | 2 |
|---|---|---|
| 6 | | 6 |
-------------
PRIMERA OBSERVACION: Si los casilleros vacíos se completan con ceros, se
obtiene una solución.
SEGUNDA OBSERVACION:
___________
| 3 | 4 | x |
|---|---|---|
| y | 9 | 2 |
|---|---|---|
| 6 | z | 6 |
-------------
Si llamamos x, y, z a los números buscados, debe cum-
plirse 12.x = 18.y = 36.z para que los productos de
los números ubicados en las filas coincidan; y las
igualdades resultarán al verificar que los productos
de los números ubicados en las columnas coincidan.
TERCERA OBSERVACION: Si x, y, z es una solución y k es un número cualquiera
también kx, ky y kz es solución.
CUARTA OBSERVACION: Si llamamos p al número p = 12 x = 18 y = 36 z,obser-
vamos que p debe ser un múltiplo común a 12, 18 y 36.
Entre todos los múltiplos comunes hay uno que es el
menor; éste es 36. Si p = 36, entonces z = 1; y = 2
y x = 3. Aquí tenemos una solución posible del pro-
blema.
QUINTA OBSERVACION: La solución obtenida más arriba es la única formada
por números consecutivos y además primos entre sí.
