R A M A   A Z U L   X I I



                             ARITMETICA (II)





        NUMEROS PRIMOS Y TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA (T.F.A.)



DEFINICION: Un número entero p se dice PRIMO, si posee exactamente cuatro

divisores: 1, -1, p y -p.

 

Son primos, por ejemplo, los números 2, -2, 3, -3, 5, -5; pero no lo son 0,

1, -1, -6 y 6.

 

DEFINICION: Se dirá que un número entero distinto de 0, 1, -1 es COMPUESTO si

no es primo.

 

Que un número N sea compuesto, significa, entonces, que es posible factorizar-

lo como producto de dos enteros de manera no trivial (o sea, con ninguno de

los factores iguales a 1, -1, p o -p).

 

PROPOSICION: Si un número entero distinto de 0, 1, -1 es compuesto, entonces

es producto de primos.

             Esta proposición se demuestra usando el principio del mínimo.



PROPOSICION: Existen infinitos primos.

             Esta se demuestra por el absurdo: se supone que los primos son

finitos: p(1), p(2), ..., p(n) y se mira el número M = p(1).p(2). ... .p(n)+1.

Resulta que M (que no es 0, 1, -1) no es primo ni producto de primos, y esto

no puede ser. El absurdo proviene de suponer que son finitos.

 

 

El TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA refuerza el hecho de que se puede es-

cribir a un entero como producto de primos, con lo hay una única forma de

hacer dicha factorización.

Se trata (sobre todo por la unicidad) de un resultado sorprendente, que se re-

vela como arma muy eficaz a la hora de dilucidar algunas cuestiones sobre di-

visibilidad.

 

Dice el Teorema:

                Para todo entero a, a distinto de 0, 1, -1

a) Existen primos p(i), 0 < p(1)  p(2)  ...  p(r) y  = 1 ó  = -1

tales que    a = .p(1).p(2). ... .p(r)         (existencia)

b) Si además, existen primos q(j), con 0 < q(1)  q(2)  ...  q(s) y '=1 ó

'=-1 tales que a = '.q(1).q(2). ... .q(s); entonces

r=s; =' y p(1)=q(1); p(2)=q(2); ... y p(r)=q(r).      (unicidad).

             

Es útil expresar la factorización en producto de primos, agrupando los primos

iguales en una potencia del mismo.

                     3                                        6

Así, 24 = 2.2.2.3 = 2 .3        y         64 = 2.2.2.2.2.2 = 2 .

 

Escribiremos, entonces            e(1)      e(2)            e(r)

                        a =  p(1)    . p(2)    . ... . p(r)    , donde los

p(i) son distintos dos a dos y los e(i) > 0 .

 

Una aplicación del T.F.A. nos permite caracterizar a los divisores de un núme-

ro dado.        e(1)      e(2)            e(s)

Si es N = .p(1)    . p(2)    . ... . p(s)    , donde los p(i) son distintos

dos a dos y e(i) > 0 para todo i, y  = 1 ó  = -1, y d es un divisor de N,

entonces d tendrá en su factorización (algunos de) los primos que aparecen en

la de N, elevados a potencia menor o igual de la que tienen en N: en efecto,

al analizar las factorizaciones en primos en la igualdad        N = d.M , con

M entero, llegamos a que al multiplicar d y M, los primos que aparecen en sus

respectivas factorizaciones se juntan, y se suman las potencias de los que

fueran comunes. Como resultado de esta operación, no puede aparecer sino la

factorización de N (por la unicidad), así es que d debe necesariamente tener

las características que habíamos anticipado.

                             Ó(1)      Ó(2)           Ó(s)

        Esto es, d = '. p(1)    . p(2)    . ... .p(s)

                                        donde 0  Ó(i)  e(i) y ' =  1.

Ó(i) = 0 significa que el primo p(i) no aparece en la factorización de d.

Ejemplo: calcular la cantidad de divisores positivos que tiene 96.

                  5

Es 96 = 32 x 3 = 2 . 3                               Ó   

Los divisores positivos de 96 serán de la forma d = 2 . 3  , donde Ó puede va-

ler 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 (6 valores posibles) y  0 ó 1 ( 2 valores posibles ).

Hay, por lo tanto, 6x2 = 12 maneras de elegir Ó y , y en consecuencia, 12 di-

visores positivos de 96.



PROBLEMAS                                              6    n

1- ¿Para qué valores de n entero positivo se verifica n  = 6 ?

 

2- Sea M = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }. ¿Es posible descomponer M en dos conjuntos

disjuntos no vacíos, M(1) y M(2), tales que M = M(1) U M(2)   , M(1)  M(2)=

y el producto de los elementos de M(1) sea igual al producto de los elementos

de M(2)? (Evitar hacer las 64 verificaciones).

                                                           5   4

3- Encontrar la suma de todos los divisores positivos de 10 . 6  .



4- ¿Cuál es la máxima potencia de 5 que divide a 200!  ?

( 200! = 1 x 2 x 3 x ... x 198 x 199 x 200 )

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