R A M A   A M A R I L L A   X I





                     SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (I)



1) UN PROBLEMA INTRODUCTORIO

En un curso de matemática se tomaron 3 pruebas. Los ejercicios valían 1 punto

cada uno, pero las pruebas tenían distinto peso.

Jorge, que acertó 3 respuestas en la primera prueba, 5 en la segunda y 4 en

la tercera, obtuvo en total 47 puntos. Fernando acertó 3, 6 y 6 totalizando

54 puntos. Por su parte, Miguel acertó 2, 7 y 5 con una suma final de 50 pun-

tos.

Si Marcelo tuvo 5 aciertos en la primer prueba, 8 en la segunda y 3 en la ter-

cera, ¿cuál fue su puntaje final?



Llamando x, y, z a los pesos de las pruebas obtenemos las siguientes puntua-

ciones:

Jorge:    6x + 5y + 4z = 47

Fernando: 3x + 6y + 6z = 54      (1)

Miguel:   2x + 7y + 5z = 50

Resolviendo este sistema determinamos x, y, z y a partir de estos valores ob-

tenemos la nota final de Marcelo.



2) OBSERVACIONES GENERALES: En lo que sigue haremos referencia al sistema (S)

                        a(1) x + b(1) y + c(1) z = d(1)

             (S)        a(2) x + b(2) y + c(2) z = d(2)

                        a(3) x + b(3) y + c(3) z = d(3)

Una solución de (S) es una terna ordenada (x,y,z) de números reales, que sus-

tituídos en el primer miembro de cada una de las ecuaciones del sistema, pro-

duce una igualdad con el segundo miembro.

Un sistema (S) puede tener una solución única, una infinidad de soluciones o

no tener ninguna; y en estos casos decimos, respectivamente, que el sistema es

determinado, indeterminado ó incompatible.

Los sistemas lineales obedecen al principio general (bastante vag0) de que pa-

ra determinar 3 números son necesarias 3 informaciones distintas sobre esos

números.

Un sistema es indeterminado cuando alguna de esas informaciones es una conse-

cuencia de las otras. Por ejemplo, si nos proponemos determinar x, y, z

sabiendo que    2 x - 4 y + 6 z = 8;         x - 2 y + 3 z = 4

y   3 x - 6 y + 9 z = 12;  tenemos un sistema indeterminado porque en realidad

tenemos una sola información sobre los tres números y es que x - 2 y + 3 z =4.

Las otras dos informaciones resultan de ésta.

A veces los sistemas indeterminados son dejados de lado en los cursos, pero

esta actitud no es correcta. Una indeterminación significa que el problema ex-

presado por el sistema (5) tiene infinitas soluciones y resulta útil poder

hallarlas.

Un sistema es incompatible cuando informaciones recibidas para calcular x, y,

z son contradictorias; por ejemplo si una de las ecuaciones del sistema es

x - 2 y + 3 z = 4  y la otra es 2 x - 4 y + 6 z = 7 (multiplicando la primera

por 2 y restando la segunda llegamos al absurdo 0 = 1 ).

 

3) UNA INTERPRETACION GEOMETRICA

Cada solución (x,y,z) del sistema (S) puede ser interpretada como el punto del

espacio tridimensional P cuyas coordenadas son (x,y,z).

Desde este punto de vista, cada una de las ecuaciones del sistema (S) es la

ecuación de un plano en ese espacio y las soluciones del sistema son los pun-

tos comunes a esos planos.

Más precisamente, si (1), (2) y (3) son los planos definidos por las ecua-

ciones de (S), entonces las soluciones de (S) son los puntos de P que pertene-

cen a (1)  (2)  (3) .

Así, por ejemplo, si dos de esos planos son paralelos, o si dos de ellos

intersecan al tercero en rectas paralelas, (1)  (2)  (3) es el conjunto

vacío y el sistema es incompatible.

En otro caso podemos tener una recta r, formando una especie de eje, contenida

en los tres planos (1)  (2)  (3) = r; el sistema es indeterminado y sus

soluciones son los puntos de r.

El sistema es determinado cuando los tres planos se cortan en un solo punto,

como dos paredes adyacentes con el techo.

Hay ocho posiciones relativas posibles para los planos (1) , (2) y (3).Cua-

tro de esas posiciones corresponden a sistemas incompatibles, es decir que no

tienen puntos comunes; en las otras cuatro el sistema tiene solución, pero en

una sola de ellas la solución es única.

                                        CONTINUARÁ

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