Nota 13 - 08 / 06 / 2000
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Vamos a comentar las soluciones al problemas de la regional que publicamos en la nota :
Sea P un punto en el interior del triángulo ABC. Se trazan por P las paralelas a los lados del triángulo, que queda dividido en tres triángulos y tres paralelogramos. Si las áreas de los tres triángulos de la subdivisión son, en algún orden, 9, 16 y 25, hallar el área del triángulo ABC.
Como dijimos, el problema lo hizo muy poca gente en la prueba. Pero usando la sugerencia que les dimos, no se hace tan difícil.
Veamos la solución que mandó Germán.
Usando la sugerencia, o después de unos cálculos (que vienen de no saber la sugerencia que ustedes plantean :-) ) llego a que
b / a = raíz de(25 / 9) = 5 / 3
c / a = raíz de(16 / 9) = 4 / 3
(Los tres triángulos son semejantes porque tienen sus lados paralelos y por lo tanto sus ángulos correspondientes congruentes.)
Por otro lado, como los paralelogramos tienen los lados opuestos congruentes, tenemos que a + b + c = AC.
Reemplazando las dos ecuaciones anteriores en esta ultima, tenemos que
a + 5 / 3 a + 4 / 3 a = AC
4a = AC
4 = AC / a
Otra vez, usando la sugerencia (en mi caso unas cuantas ecuaciones más) llegamos a
42 = área (ABC) / 9
(porque el triángulo de base a tiene área 9)
Es decir
área (ABC) = 16 . 9 = 144
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