Nota: Escribimos los números periódicos usando puntos suspensivos, en vez de la notación correcta, debido a que no es posible dibujar el "sombrerito" en las página web, sin utilizar gráficos.

¿Todo número periódico o que tiene una cantidad finita de cifras es una fracción?

Lo que vamos a hacer es mostrar como pasar un número periódico a una fracción. Acá hay tres casos :

Caso 1: Números Decimales "Exactos"

Algunos números decimales terminan con una tira infinita de ceros (que no se escriben). Por ejemplo 17,3020000000000.... Uno escribe solamente hasta que se acaban las cifras distintas de cero y listo, o sea 17,302 .

Si el número n tiene x cifras decimales entonces lo multiplicamos por 10^x (o la base que sea) y queda un número entero que llamamos N. Así que n = N/10^x.

Ejemplo: 
Número original        n = 17,302
                              \-/ 
                               tres cifras periódicas
Cantidad de decimales  x = 3
Nuevo entero           N = n*10x = 17,302 * 1000 = 17302
Fraccion               n = N/10x = 17302/1000

Como se ve en el ejemplo, a veces la fracción que así se obtiene se puede simplificar.

Caso 2: Números Periódicos "Puros"

A veces la parte periodica del número empieza justo después de la coma, por ejemplo el 14,678678678678... .

Veamos que pasa si tenemos un número periodico n, sin parte decimal no periódica. Supongamos que el periodo tiene largo l, entonces multiplicamos a n por 10^l (o la base que sea) y entonces se corre l lugares a la izquierda. Por lo tanto la parte periódica no cambia, sólo aparece una copia más a la izquierda de la coma). Al restarle a este nuevo número el número original n, toda la parte decimal desaparece. Así que 10^l*n-n = (10^l-1)*n es un entero al que llamamos N. Al pasar el (10^l-1) dividiendo queda n= N/(10^l-1)

Ejemplo: 
Número periódico  n             =    14,678678678678...
                                        \-/
                                        periodo de 3 cifras
Largo del periodo l = 3
Número corrido    10l*n = 103*n = 14678,678678678...
                                    \-/
                                     copia extra de la parte periódica
Restando          N = 103*n-n   = 14664,000000000...
                                        \---...
                                        restando queda un entero
Fracción          n = N/(103-1)= 14664/999

Caso 3: Números Periódicos "Mixtos"
(en algunos lados los llaman "Semiperiódicos")

Nos falta analizar como pasar a fracción un número periódico m, con que tiene una parte decimal no periódica. Por ejemplo el 12,345678787878... .

Llamemos x a la cantidad de cifras decimales no peridicas. Ahora llamamos n al número m*10^x (o la base que sea). Este número no es entero, pero es un periódico "puro". O sea que todos los decimales no periodicos pasaron a la parte entera, y después de la coma sólo queda la parte periodica.

Ahora podemos usar el método anterior para transformar a n en una fracción, y después con ayuda de esa fracción buscar la que le corresponde a m, dividiendola por 10^x.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo: 
Número periódico         m               =      12,345678787878...
                                                   \--/
                                                    cuatro decimales no periódicos
Decimales no periódicos  x = 4
Nuevo periódico          n = 10x*m       =   123456,78787878...
                                               \--/
                                                la parte no periódica está acá

  Nuevo periódico(repetido)n = 10x*m     =   123456,78787878...
                                                    \/
                                                     periodo de dos cifras
  Largo del periodo        l = 2
  Número corrido           10l*n = 103*n = 12345678,787878...
                                                 \/
                                                  copia extra de la parte periódica
  Restando                 N = 102*n-n   = 12222222,000000...
                                                    \---...
                                                     restando queda un entero
  Fracción auxiliar        n = N/(102-1) = 12222222/99

Fracción original        m =N/(102-1)/104= 12222222/990000

En este caso, para calcular la fracción correspondiente a m = 12,345678787878... , primero calculamos la fracción que le corresponde a n = 123456,78787878... = 12222222/99. Después utilizamos esta fracción para calcular la de m = 12,345678787878... = 12222222/990000.

Nuevamente, a veces las fracción que se obitiene por este método se puede simplificar.

Veamos otro ejemplo más, pero escrito con menos detalles:

Ejemplo: 
Número periódico   m                   =      117,3414241424142...

  Nuevo periódico    n = 101*m         =     1173,414241424142...
  Número corrido     104*n             = 11734142,414241424142...
  Restando           N = 104*n-n       = 11732969,000000000000...
  Fracción auxiliar  n = N/(104-1)     = 11732969/9999

Fracción original  m = N/(104-1)/101   = 11732969/99990

De Fracción a Decimal

¿Toda fracción es un número periódico o tiene una cantidad finita de cifras?

Llamamos n=a/b a nuestra fracción. Para calcular las cifras decimales podemos tomar la parte decimal de n y multiplicarla por 10 (o la base que sea). La parte entera es la primera cifra y repitiendo este procedimiento con la parte decimal obtenemos las cifras siguientes. Si repetimos este procedimiento b veces en cada caso deberíamos obtener una parte decimal distinta, porque si no sería periódico a partir de la repetición (o cero). Pero al multiplicar por 10 (o la base que sea) a n siempre obtenemos una fracción de denominador b (algo tipo ?/b). Al tomar la parte fraccionaria sigue siendo una fracción de denominador b, pero el numerador tiene que estar entre 0 y b-1, o sea que hay b posibilidades pero ya tenemos b+1 restos (1 el de n y b obtenidos al sacar las primeras b cifras). Así que alguno se debería haber repetido y por lo tanto el número es periódico.

Ejemplo: 103/56

103     |56
        --------------
 470     1,83928571428571428571428...
  220
   520
    160
     480
      320
       400
         80
         240
          160
           480
            320
             400
               80
               240
                160
                 480
                  320
                   ...

Al hacer la división, van apareciendo varios restos: 47->22->52->16->48->32->40->8->24->16 . Todos estos restos son menores que 56, así que tarde o temprano deberían repetirse, en menos de 56 pasos. Por suerte en este ejemplo solamente hay que hacer unos 10 pasos hasta que el 16 se repite. A partir de ahi toda la cadena de restos se va repitiendo, y por ello los cocientes también y el número es periódico.

Es interesante notar que el 8 aparece en la parte no periodica, y es la primera cifra que se repite: 1,83928571428571428571428... . Sin embargo esto no hace que las cifras siguientes también se repitan. Es más no tiene nada que ver. La periodicidad del número se debe a que se repiten los restos, no los cocientes.

En algunas fracciones, después de algunos pasos el resto que obtenemos es 0, y a partir de ahí todos son ceros. Así que el desarrollo decimal es finito.

Ejemplo: 97/32

97     |32
        ---------------
 10     3,0312500...
 100
   40
    80
    160
      00
       00
        00
         ...

En este caso 3,0312500000... o, como lo escribimos normalmente, 3,03125 .

Lecciones relacionadas:

Números no enteros en otras bases