CyM98 << Ejemplo de factorización no única >>


En los enteros la factorización es única, pero si uno solo trabaja con una parte de ellos y se olvida completamente del resto, por ejemplo los números positivos de la forma 4k+1 (donde k es un entero no negativo). Estos números son :

1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, ...

Al tomar dos números de este subconjunto y multiplicarlos siempre obtenemos un número que esta en el subconjunto (la demostración queda como ejercicio), sin embargo al sumarlos el resultado no está en el subconjunto.

Como se puede apreciar han desaparecido algunos primos, por lo tanto dentro de este subconjunto el 33 no se puede factorizar (ya que ni 3 ni 11 están en el subconjunto). Pero 45 todavía se puede factorizar como 5*9 y la factorización no se puede continuar ya que no está el 3.

Algo curioso aparece al factorizar 189. Hay dos formas posibles 441=9*49 o también 441=21*21, pero ninguno de los números que aparecen en estas factorizaciones se pueden factorizar (porque desaparecieron el 3 y el 7) así que estas dos factorizaciones son diferentes.

Problemas parecidos aparecen al tratar de resolver el Último Teorema de Fermat. En este teorema se afirma que la ecuación xn+yn=zn no tiene soluciones enteras cuando n>2 (con x, y distintos de 0). Este problema fue propuesto por Pierre de Fermat en 1637 y fue resuelto recién en 1994 por Andrew Weil después de varias correcciones. En los primeros intentos de demostrarlo se agregaba elementos a los enteros (al revés de nuestro ejemplo) y se utilizaba luego que la factorización era única. El problema era que en casi todos estos conjunto más grande la factorización no es única, por ello fueron necesario crear nuevas ideas y teorías para poder resolverlo.


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