torneo Torneos y Competencias... Matemáticas

Introducción

Sobre gustos no hay nada escrito, y aunque es posible que haya gustos que merezcan palos, voy a comentar en estas notas sobre un problema que me ha gustado particularmente.

Se trata del sexto problema del tercer nivel del último Certamen Nacional de la OMA (el XIII, en Tucumán), donde nos vemos involucrados en un apasionante torneo de tenis. Es posible que todos ya conozcan el enunciado (y aún la solución), pero por completitud vamos a copiarlo:

- Problema 1. En un torneo de tenis de 10 jugadores, todos jugaron contra todos una vez. En este torneo, si el jugador i ganó el partido contra el jugador j, entonces la cantidad de partidos que perdió i más la cantidad de partidos que ganó j es mayor o igual que 8. Diremos que tres jugadores i, j, k forman un trío atípico si i le ganó a j, j le ganó a k, y k le ganó a i.
Demostrar que en el torneo hubo exactamente 40 tríos atípicos.

El lector observará que en estas notas los problemas están señalados con -, una forma "sutil" de decir: ¡sentarse con lápiz y papel y pensar el problema antes de seguir!

En particular, si el lector no ha pensado aún el problema planteado, es conveniente que lo haga ahora antes de continuar. Lo que sigue será entonces mucho más provechoso.

Retomando el hilo principal, ¿qué es lo que me llamó la atención sobre este problema?. Varias cosas: lo curioso de la condición sobre los partidos ganados y perdidos, los "tríos atípicos", el número "exacto" 40, que nos digan que puede haber un torneo así, y otras preguntas que van surgiendo a medida que pensamos el problema.

Vamos a ordenarnos, y aclaremos algunos "tantos" del torneo y de estas notas:

3 Cualquier número que aparezca en estas notas será entero no-negativo, salvo que claramente no lo sea.

3 En lo que sigue, siempre (o casi) nos referiremos a un torneo de n jugadores, donde cada jugador juega exactamente una vez con cada uno de los restantes jugadores. Para que tenga sentido y haya al menos un partido, pedimos n >= 2.

3 Los jugadores se indicarán con letras como i, j, k. Podemos pensar, aunque no es necesario, que los jugadores tienen los nombres 1, ... ,n.

3 La cantidad de partidos que el jugador i ha ganado al finalizar el torneo, o sea los puntos obtenidos por i, se indicará con gi.

3 i --> j es una manera alternativa de expresar que el jugador i le ganó al jugador j.

3 Tres jugadores i, j y k forman un trío atípico si i --> j, j --> k y k --> i.

Observemos que si en un torneo hay n jugadores, cada jugador participa en n - 1 partidos, y entonces el número de partidos perdidos por el jugador i es (n - 1) - gi, por lo que la condición sobre partidos ganados y perdidos puede ser enunciada (no demasiado formalmente) como:

Condición ¦: Un torneo satisface la condición ¦ si i --> j implica gj >=gi - 1.

Desconozco el nombre del símbolo ¦, y como hay que llamarlo de alguna manera, propongo llamar a la condición, "condición del amor imposible", por el corazón (¿o será una frutilla?) que aparece y lo difícil que es dibujarlo. El nombre es un poco largo, así que algunos la abreviaran a "condición del amor", y otros a "condición imposible". Dejemos a los psicólogos las interpretaciones de éstas y otras posibilidades que aparezcan, y volvamos a lo nuestro. El propósito de estas notas es estudiar las dos preguntas siguientes:

- Problema 2. ¿Cuáles son los valores de n para los que existe un torneo que satisface la condición ¦?

- Problema 3. Encontrar el número de "tríos atípicos" en un torneo de n jugadores que satisface la condición ¦.

El plan es el siguiente: comenzamos por estudiar algunas propiedades de un torneo que satisface la condición ¦, luego estudiamos la existencia de torneos que satisfacen la condición ¦ primero para n impar y después para n par, seguimos con un estudio más detallado para n impar, para concluir con el estudio de los tríos "atípicos". Al final del artículo resumimos los principales resultados obtenidos, pero no los indicamos acá para mantener el suspenso1.

Antes de seguir, y será la última vez que insista sobre el tema, pido al lector que cada vez que aparezca un problema presentado con -, se detenga a pensarlo antes de continuar, la lectura será entonces mucho más provechosa. Ahora ¡a arremangarse!2.

 


1 Para los ansiosos: efectivamente, el asesino es el mayordomo.
2 Rápido: ¿cuál es el torneo?, ¿cuál es la competencia?

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