Version: Spanish

Primer día
Mar del Plata, Argentina - 24 de julio de 1997

1

En el plano, los puntos de coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados se colorean alternadamente de blanco y negro (como los del tablero de ajedrez).

Para cada par de enteros positivos m y n, se considera un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes m y n, están sobre los lados de los cuadrados.

Sean S1 el área total de la región negra del triángulo y S2 el área total de su región blanca. Sea

f(m,n) = | S1 - S2 |.

(a) Calcular f(m,n) para todos los enteros positivos m y n que son, o bien ambos pares, o bien ambos impares.

(b) Probar que f(m,n) =< 1/2 max{m,n} para todo m y n.

(c) Demostrar que no existe ninguna constante C tal que f(m,n) < C para todo m y n.

2

El ángulo A es el menor de los ángulos del triángulo ABC.

Los puntos B y C dividen a la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos. Sea U un punto interior del arco BC que no contiene a A.

Las mediatrices de AB y AC cortan a la recta AU en V y W, respectivamente. Las rectas BV y CW se cortan en T.

Demostrar que

AU = TB + TC.

3

Sean x1, x2, ... , xn números reales que verifican las condiciones:

|x1 + x2 + ... + xn | = 1

y

|x_1| <= (n+1)/2 para i = 1, 2, ... , n.

Demostrar que existe una reordenación (o permutación)   y1, y2, ... , yn  de   x1, x2, ... , xn  tal que

| y_1 + 2 y_2 + ... + n y_n | <= (n+1)/2.


Cada problema vale 7 puntos.
Tiempo: 4 1/2 horas.