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Premier Jour
Mar del Plata, Argentine - 24 Juillet 1997

1

Dans le plan, les points à coordonnées entières sont les sommets de carrés unités. Les carrés sont coloriés alternativement en blanc et en noir (comme sur un échiquier).

Pour tout couple d'entiers strictement positifs m et n, on considère un triangle rectangle dont les sommets sont des points à coordonnées entières et dont les côtés de l'angle droit, de longueurs m et n, suivent les côtés des carrés.

Soit S₁ l'aire totale de la partie noire du triangle et S₂ l'aire totale de sa partie blanche. On pose:

f(m,n) = | S₁ - S₂ |.

(a) Calculer f(m,n) pour tous les entiers strictement positifs m et n qui sont tous deux pairs ou tous deux impairs.

(b) Montrer que pour tout m et n: .

(c) Montrer qu'il n'existe pas de constante C telle que, pour tous m et n, f(m,n) < C.

2

L'angle A est le plus petit dans le triangle ABC.

Les points B et C divisent le cercle circonscrit au triangle en deux arcs. Soit U un point intérieur à l'arc limité par B et C qui ne contient pas A.

Les médiatrices des segments AB et AC rencontrent la droite AU respectivement en V et W. Les droites BV et CW se coupent au pointT.

Montrer que:

AU = TB + TC.

3

Soient x₁, x₂, ... , x_n des réels vérifiant les conditions suivantes:

|x₁ + x₂ + ... + x_n | = 1

et

pour i = 1, 2, ... , n.

Montrer qu'il existe une permutation   y₁, y₂, ... , y_n  de   x₁, x₂, ... , x_n  telle que

.