I Olimpíada Iberoamericana para
Estudiantes Universitarios

Ronda Preparatoria

14 de Mayo de 1998

 

1 (3 puntos)

Demostrar que el sistema de ecuaciones

sistema

con m y n naturales diferentes no tiene soluciones en los números enteros positivos.

 

2 (4 puntos)

Demostrar las siguientes desigualdades

1/1999 < ln(1999/1998) < 1/1998

 

3 (4 puntos)

Encontrar todas las funciones f: R --> R, tales que

(f(x) - f(y))2 =< |x-y|3

para todos los números reales x e y.

4 (5 puntos)

En el espacio euclideano n-dimensional considérese un cubo unitario con centro en el origen de coordenadas. Los planos coordenados dividen este cubo en 2n cubos iguales de lado 1/2. En cada uno de estos 2n cubos se inscribe una esfera n-dimensional. Otra esfera n-dimensional con centro en el origen y radio rn es tangente a todas estas esferas exteriormente. Encontrar

límite cuando n tiende a infinito de r_n

 

5 (6 puntos)

Sea f:[0,1] --> [0,1] una función continua y diferenciable tal que f(0)=0 y f(1)=1. Demostrar que existen a, b pertenece(0,1), con adistintob, tales que

f' (a) . f'(b) = 1

 

6 (6 puntos)

Una isla del Caribe tiene la forma de un círculo de radio R. En la isla hay una ciudad en forma de círculo de radio r y la distancia desde el centro de la ciudad al centro de la isla es . Así, en la isla viven citadinos, campesinos y pescadores de manera que la distancia de la casa de un pescador al mar es menor que la distancia de su casa a la ciudad y la distancia de la casa de un campesino a la ciudad es menor que al mar. Supongamos que la densidad de la población en la isla es constante. Demuestre que los campesinos y citadinos conforman menos del 25% y más del 24% de la población, y que los citadinos conforman menos del 3% de la población de la isla

 

7 (7 puntos)

Sea f: R --> R una función definida de la siguiente manera

función

Demostrar que si k es un número natural y no es un cuadrado perfecto, entonces f es diferenciable en x = raíz de k.

 


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