XXXII Torneo Internacional de las Ciudades

Primavera del Hemisferio Norte - 14 de marzo de 2011

 

nivel juvenil

1. Decidir si existe algún hexágono que se pueda dividir en cuatro triángulos congruentes mediante un corte recto.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 4 PUNTOS

2. Se divide el plano en ángulos de 1º mediante 180 rectas que pasan por el origen (las 180 rectas son los dos ejes y otras 178 rectas). Se traza la recta  y se marcan los puntos de corte de esta recta con las 180 trazadas anteriormente. Hallar la suma de las primeras coordenadas de estos puntos.           

                                                                                                                                                                                                                                 4 PUNTOS

3. El barón de Münchausen tiene un conjunto de 50 monedas cuyos pesos son enteros positivos distintos menores o iguales que 100 y tales que el peso total de todas las monedas es un número par. El barón afirma que es imposible distribuir todas estas monedas en dos grupos de igual peso. ¿Puede ser cierto lo que afirma el barón?                                                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                                               
5 PUNTOS

4. Sea N un entero positivo dado. Demostrar que existen dos pares de enteros positivos  y  tales que las sumas de los números en ambos pares son iguales
() y el cociente de los productos de los números en ambos pares es igual a N . Es decir.
      

                                                                                                                                                                                                                               6 PUNTOS

5. Sea ABC un triángulo acutángulo y ,  dos de sus alturas. Se trazan desde  perpendiculares a AC y a AB, y se trazan desde  perpendiculares a BC y a BA. Demostrar que los cuatro puntos en los que estas perpendiculares cortan a los lados AC, AB, BC y BA son los vértices de un trapecio isósceles.                                                                                             
                                                                                                                                                                                                                            
7 PUNTOS

6. Dos hormigas describen, cada una, un camino cerrado en un tablero cuadrado de 7 x 7. Cada una se mueve exclusivamente por lados de los 49 cuadraditos del tablero y pasa por cada uno de los 64 vértices de cuadraditos exactamente una vez. Determinar el menor número posible de lados de cuadraditos que están a la vez en los dos caminos.                                                                                                                                                                      
                                                                                                                                                                                                                           
10 PUNTOS

7. En cada casilla de un tablero cuadrado hay escrito un número de modo que la suma de los dos números más grandes de cada fila es igual a a, y la suma de los dos números más grandes de cada columna es igual a b. Demostrar que .                                           
                                                                                                                                                                                                                         
10 PUNTOS


 
nivel mayor

1. El barón de Münchausen tiene un conjunto de 50 monedas cuyos pesos son enteros positivos distintos menores o iguales que 100 y tales que el peso total de todas las monedas es un número par. El barón afirma que es imposible distribuir todas estas monedas en dos grupos de igual peso. ¿Puede ser cierto lo que afirma el barón?                                                                                                                                                                                                                                   4 PUNTOS

2. En un sistema de ejes cartesianos tenemos un paralelepípedo rectángulo de volumen 2011 y cuyos vértices son de coordenadas enteras. Demostrar que todas las aristas del paralelepípedo son paralelas a los ejes coordenados.                                                             
                                                                                                                                                                                                                                  
6 PUNTOS

3. Se tiene un prisma de base triangular. Se realizan dos cortes planos tales que no se intersecan entre sí (en el prisma) y no cortan a la base del prisma.

(a) ¿Puede ocurrir que los cortes sean triángulos semejantes pero no congruentes?                                                                                                              3 PUNTOS

(b) ¿Puede ocurrir que los cortes sean dos triángulos equiláteros de lados 1 y 2?                                                                                                                 4 PUNTOS

4. Se tienen N palos azules y N rojos. La suma de las longitudes de todos los palos azules es igual a la suma de las longitudes de todos los palos rojos. Es posible construir un polígono de N lados con palos azules y también es posible construir un polígono de N lados con palos rojos. Determinar si siempre es posible elegir un palo azul y uno rojo e intercambiar sus colores de modo que sea nuevamente posible construir un polígono de N lados con palos azules y un polígono de N lados con palos rojos. Resolver el problema

a) para N = 3;                                                                                                                                                                                                             4 PUNTOS

b) para N arbitrario mayor que 3                                                                                                                                                                                   4 PUNTOS

5. Se tiene un trapecio ABCD de bases BC y DA. Los lados AB y CD son, respectivamente, cuerdas de dos circunferencias  y  que son tangentes exteriores entre sí. Sean  y  las medidas en grados de los arcos  y  (que contienen al punto de tangencia de  y ). Sean  y  circunferencias también con cuerdas AB y CD tales que las medidas en grados de los arcos  y  son  y  respectivamente (los nuevos arcos  y  están ubicados de los mismos lados de las cuerdas que los originales). Demostrar que  y  también son tangentes entre sí.                                                                                                       

                                                                                                                                                                                                                              8 PUNTOS

6. En cada casilla de un tablero cuadrado hay escrito un número de modo que la suma de los dos números más grandes de cada fila es igual a a, y la suma de los dos números más grandes de cada columna es igual a b. Demostrar que .                                          

                                                                                                                                                                                                                             8 PUNTOS

7. Dos empresas contratan programadores por turnos. Cada empresa elige su primer programador en forma arbitraria, pero luego cada nuevo programador que contrata debe ser conocido de alguno de los que ya contrató anteriormente esa empresa. Si la empresa no puede cumplir esta regla, no contrata más a nadie, y la otra empresa puede seguir contratando. Entre los programadores hay 11 genios. La lista de programadores, incluyendo la información de cuáles son genios y quien es conocido de quien, se saben con antelación. Decidir si existe una lista tal que la empresa que tiene el segundo turno puede contratar 10 genios independientemente de cómo actúe la otra empresa (la que empieza la elección).

                                                                                                                                                                                                                            11 PUNTOS

 


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