XXXII Torneo Internacional de las Ciudades

Otoño del Hemisferio Norte - octubre de 2010

 

nivel juvenil


1.
Son dados una recta del plano y una moneda redonda. Construya dos puntos tales que la recta que los une sea perpendicular a la dada. Hay dos operaciones permitidas: 1) marcar un punto, poner la moneda de manera que este punto esté en su borde, y encircularla; 2) marcar dos puntos (a distancia menor que el diámetro de la moneda), poner la moneda de manera que estos puntos estén en su borde y encircularla. Es imposible poner la moneda de modo tal que la moneda sea tangente a la recta.          
                                                                                                                                                                                                                                       
   4 PUNTOS

 

2. Pete puede marcar un punto en un segmento arbitrario de una recta de modo que el punto divida el segmento por la mitad o lo divida en la razón n : (n + 1), donde n es cualquier entero positivo. Pete afirma que esto le permite marcar un punto de un segmento arbitrario de manera que el punto divida al segmento en cualquier razón racional dada. ¿Es cierto lo que dice Pete?                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                                                        
5 PUNTOS

 

3. Alrededor de una pista circular 10 ciclistas salen de un mismo punto, a la misma hora, en la misma dirección y con velocidades constantes aunque distintas. Si dos ciclistas se encuentran en un punto al mismo tiempo, diremos que se encuentran. Hasta el mediodía, cada dos ciclistas se encontraron al menos una vez, y no hay tres o más de ellos que se encontraron al mismo tiempo. Demostrar que cada ciclista tuvo al menos 25 encuentros hasta el mediodía.
                                                                                                                                                                                                                                      
8 PUNTOS

 

4. Un rectángulo se ha dividido en dominós de 2 x 1. En cada dominó se dibujó una diagonal, y no hay dos diagonales con extremos en común. Demostrar que exactamente dos esquinas del rectángulo son extremos de diagonales de dominós.                                                                                                                                      

                                                                                                                                                                                                                                      8 PUNTOS

 

5. Dado un pentágono, para cada lado se divide su longitud por la longitud total de todos los otros lados y se suman todas las fracciones obtenidas. Demostrar que la suma es menor que 2.
                                                                                                                                                                                                                                    
8 PUNTOS

 

6. En un triángulo acutángulo ABC, sea P un punto de la altura BH. Los puntos  y  son los puntos medios de BC y AB, respectivamente. Las perpendiculares desde  a CP y desde  a AP se cortan en el punto K. Demostrar que las distancias desde K a A y a C son iguales.
                                                                                                                                                                                                                                   
8 PUNTOS

 

7. Alrededor de una mesa redonda N caballeros realizan sus reuniones diarias. Cada día el mago Merlín los sienta en un nuevo orden. Desde el segundo día, Merlín permite que durante la reunión los caballeros cambien sus asientos repetidamente de la siguiente manera: cualquier par de vecinos pueden intercambiar sus asientos si no fueron vecinos el primer día. Los caballeros tratan de sentarse en algún orden que ya ha ocurrido algún día anterior: en tal caso las reuniones se detienen. ¿Cuál es el máximo número de días para los que Merlín puede garantizar que las reuniones no se van a detener? (Dos disposiciones se consideran iguales si una se obtiene de la otra mediante una rotación alrededor de la mesa. Merlín no se sienta en la mesa.)                                                                                                                                                      
                                                                                                                                                                                                                                 
12 PUNTOS



 
nivel mayor


1. En cierto país hay 100 pueblos (considérelos como puntos del plano). Hay un libro que, para cada par de pueblos, contiene el registro de la distancia entre ellos (un total de 4950 registros).

a) Un registro se ha borrado. ¿Es posible restablecerlo usando los otros registros?

2 PUNTOS

b) Supongamos que k registros se han borrado y que no hay tres pueblos en una misma línea. ¿Cuál es el máximo k tal que está garantizada la recuperación de los registros borrados?

3 PUNTOS

 
2.
Alrededor de una pista circular 2N ciclistas salen de un mismo punto, a la misma hora, en la misma dirección y con velocidades constantes aunque distintas. Si dos ciclistas se encuentran en un punto al mismo tiempo, diremos que se encuentran. Hasta el mediodía, cada dos ciclistas se encontraron al menos una vez, y no hay tres o más de ellos que se encontraron al mismo tiempo. Demostrar que cada ciclista tuvo al menos N 2 encuentros hasta el mediodía.

6 PUNTOS

 

3. Dado un polígono, para cada lado se divide su longitud por la longitud total de todos los otros lados y se suman todas las fracciones obtenidas. Demostrar que la suma es menor que 2.

 6 PUNTOS

 

4. Dos magos están involucrados en un duelo. Al comienzo los dos están volando sobre el mar a altura 100. A continuación los magos anuncian hechizos por turnos, y cada hechizo es de la forma “disminuya mi altura en a y la de mi rival en b” donde a, b son números reales (diferentes para hechizos diferentes) tales que 0 < a < b. El conjunto de hechizos es el mismo para los dos magos, y cada mago puede anunciar un mismo hechizo muchas veces. Un mago gana si luego de algún hechizo él está a una altura positiva sobre el mar y su rival, no. ¿Existe un conjunto de hechizos tal que el segundo mago tiene una manera garantizada de ganar (para cualquier acción del primero) y el número de hechizos es

a) finito,                                                                                                                                                                                                                              2 PUNTOS

b) infinito?                                                                                                                                                                                                                           5 PUNTOS

 

5. El cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia de centro O de modo que las diagonales del cuadrilátero no pasan por el punto O. El circuncentro del triángulo AOC pertenece a la recta BD. Demostrar que el circuncentro del triángulo BOD pertenece a la recta AC.

                                                                                                                                                                                                                                          8 PUNTOS

 

6. Cada casilla del tablero de 1000 x 1000 contiene un cero o un uno. Demostrar que uno puede retirar 990 filas de modo que en cada columna quede al menos un uno o puede retirar 990 columnas de modo que en cada fila quede al menos un cero.                      
                                                                                                                                                                                                                                        
12 PUNTOS

 

7. El cuadrado ABCD se divide en rectángulos iguales, con lados de longitudes enteras. La figura F es la unión de los rectángulos que tienen puntos en común con la diagonal AC. Demostrar que AC divide el área de F en dos partes iguales.
ACLARACIÓN: Si un rectángulo tiene sólo un vértice en común con AC entonces NO pertenece a F.

14 PUNTOS

 

where to buy alcohol online duty free cigarettes usa buy duty free cuban cigars order cosmetics online uk duty free perfumes buy tobacco online usa