X Olimpíada Provincial de Entre Ríos 2006
Primer Nivel
Problema 1.
En este crucigrama hay que escribir un dígito en cada una de las 14 casillas blancas.
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HORIZONTALES |
VERTICALES |
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1. El cuadrado de un primo |
1. Un número capicúa que es |
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4. 2 veces la raíz cúbica de 3 vertical |
igual al cubo de un primo |
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5. 3 veces la raíz cúbica de 1 vertical |
2. El cuadrado de un entero |
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7. El cuadrado de un primo |
3. El cubo de un entero |
|
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6. El cuadrado de un entero |
Problema 2.
Hallar el mayor entero de 10 dígitos que no tiene dígitos repetidos y que es múltiplo de cada uno de los números del 1 al 9 (es decir, es múltiplo de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7, de 8 y de 9), si se sabe que sus cuatro primeros dígitos son 9876, en ese orden.
Problema 3.
Sea ABC un triángulo isósceles con
y
.
Sobre el lado AC y exteriormente al triángulo, se construye el triángulo
equilátero ACD. Se considera el punto M del lado BC tal que
.
Calcular la medida del ángulo 
.
Segundo Nivel
Problema 1.
En cada
casilla del tablero de 
hay
que escribir un dígito entre 1 y 9 inclusive de manera tal que se verifiquen
simultáneamente las siguientes tres condiciones:
· En cada fila del tablero figuren los 9 dígitos.
· En cada columna del tablero figuren los 9 dígitos.
· En
cada uno de los 9 cuadrados de 
del
tablero indicados con trazos gruesos figuren los 9 dígitos.
Problema 2.
En un torneo de ping pong participan jugadores de dos
clubes: Club Grande y Club Chico. Cada jugador juega exactamente un partido
contra cada uno de los otros (de su club y del otro club).
Se sabe que:
· Club Grande tiene 15 jugadores y Club Chico tiene 6 jugadores.
· La cantidad de partidos ganados por jugadores de Club Grande es igual a 9 veces la cantidad de partidos ganados por jugadores de Club Chico.
Determinar la mayor cantidad de partidos ganados que puede
tener un jugador de Club Chico.
ACLARACIÓN: En el ping pong no hay empates.
Problema 3.
Sea ABC un triángulo tal que
,
.
El punto D en el lado AB es tal que
.
Si 
,
calcular la medida del lado BC.
Tercer Nivel
Problema 1.
Magalí y Nacho tienen que escribir cada uno una lista ordenada de fracciones de manera que las dos listas tengan la misma cantidad de fracciones y que la diferencia entre la suma de todas las fracciones de la lista de Magalí y la suma de todas las fracciones de la lista de Nacho sea mayor que 15. Las fracciones de la lista de Magalí son
y las fracciones de la lista de Nacho son
.
Hallar la menor cantidad de fracciones que debe escribir cada uno para lograr el objetivo.
Problema 2.
Pablo escribió dos progresiones aritméticas de 16 términos cada una y tales que
· Las dos progresiones tienen el mismo primer término.
· El producto del último término de una progresión por el último término de la otra progresión es igual a 16.
· El producto del penúltimo término de una progresión por el penúltimo término de la otra progresión es igual a 30.
· El producto del antepenúltimo término de una progresión por el antepenúltimo término de la otra progresión es igual a 42.
Hallar dos progresiones como las de Pablo.
Problema 3.
Se tienen tres circunferencias en el plano, cada una tangente exteriormente a las otras dos. Dos de las circunferencias son de radio 3 y la otra, de radio 2. Una cuarta circunferencia es tangente exteriormente a cada una de las tres anteriores. Determinar el radio de esta cuarta circunferencia.
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