X Olimpíada Provincial de Entre Ríos 2006

Primer Nivel

Problema 1.

En este crucigrama hay que escribir un dígito en cada una de las 14 casillas blancas.

HORIZONTALES

VERTICALES

1. El cuadrado de un primo

1. Un número capicúa que es

4. 2 veces la raíz cúbica de 3 vertical

      igual al cubo de un primo

5. 3 veces la raíz cúbica de 1 vertical

2. El cuadrado de un entero

7. El cuadrado de un primo

3. El cubo de un entero

 

6. El cuadrado de un entero

Problema 2.

Hallar el mayor entero de 10 dígitos que no tiene dígitos repetidos y que es múltiplo de cada uno de los números del 1 al 9 (es decir, es múltiplo de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7, de 8 y de 9), si se sabe que sus cuatro primeros dígitos son 9876, en ese orden.

Problema 3.

Sea ABC un triángulo isósceles con  y . Sobre el lado AC y exteriormente al triángulo, se construye el triángulo equilátero ACD. Se considera el punto M del lado BC tal que . Calcular la medida del ángulo .

 

Segundo Nivel

Problema 1.

En cada casilla del tablero de  hay que escribir un dígito entre 1 y 9 inclusive de manera tal que se verifiquen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

· En cada fila del tablero figuren los 9 dígitos.

· En cada columna del tablero figuren los 9 dígitos.

· En cada uno de los 9 cuadrados de  del tablero indicados con trazos gruesos figuren los 9 dígitos.

Problema 2.

En un torneo de ping pong participan jugadores de dos clubes: Club Grande y Club Chico. Cada jugador juega exactamente un partido contra cada uno de los otros (de su club y del otro club).
Se sabe que:

· Club Grande tiene 15 jugadores y Club Chico tiene 6 jugadores.

· La cantidad de partidos ganados por jugadores de Club Grande es igual a 9 veces la cantidad de partidos ganados por jugadores de Club Chico.

Determinar la mayor cantidad de partidos ganados que puede tener un jugador de Club Chico.
ACLARACIÓN: En el ping pong no hay empates.

Problema 3.

Sea ABC un triángulo tal que , . El punto D en el lado AB es tal que . Si , calcular la medida del lado BC.

 

Tercer Nivel

Problema 1.

Magalí y Nacho tienen que escribir cada uno una lista ordenada de fracciones de manera que las dos listas tengan la misma cantidad de fracciones y que la diferencia entre la suma de todas las fracciones de la lista de Magalí y la suma de todas las fracciones de la lista de Nacho sea mayor que 15. Las fracciones de la lista de Magalí son

 

y las fracciones de la lista de Nacho son

.

Hallar la menor cantidad de fracciones que debe escribir cada uno para lograr el objetivo.

Problema 2.

Pablo escribió dos progresiones aritméticas de 16 términos cada una y tales que

· Las dos progresiones tienen el mismo primer término.

· El producto del último término de una progresión por el último término de la otra progresión es igual a 16.

· El producto del penúltimo término de una progresión por el penúltimo término de la otra progresión es igual a 30.

· El producto del antepenúltimo término de una progresión por el antepenúltimo término de la otra progresión es igual a 42.

Hallar dos progresiones como las de Pablo.

Problema 3.

Se tienen tres circunferencias en el plano, cada una tangente exteriormente a las otras dos. Dos de las circunferencias son de radio 3 y la otra, de radio 2. Una cuarta circunferencia es tangente exteriormente a cada una de las tres anteriores. Determinar el radio de esta cuarta circunferencia.

 


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