IX Certamen el Número de Oro. 2001
Profesores de enseñanza media.

 

1 ¿Para qué pares  de números naturales es el polinomio  divisible por  ?

2  Por el baricentro de un triángulo se traza una recta L que deja dos vértices del mismo en uno de los semiplanos abiertos que determina. Demuestre que la suma de las distancias de estos dos vértices a L es igual a la distancia del otro vértice a L.

3  ¿Qué soluciones enteras admite la ecuación  ?

4  ¿Es  un número entero ?

5  Determine las funciones continuas  tales que  para todo par de números reales x, y.

6  Se divide a los números naturales en los grupos  Si se suprimen los grupos situados en las posiciones pares, calcule, cualquiera sea m, la suma de los elementos de los primeros m grupos no suprimidos.

7 ¿De cuántas maneras pueden rotularse los vértices de un cubo con los números 1, 2, 3 ó 4, con la condición de que la suma de los números asignados a los vértices de cualquier cara sea múltiplo de 4?

8 Dados números naturales k y n , se eligen arbitrariamente k números en el intervalo natural . Pruebe que la probabilidad de que sean todos distintos no supera a .

9 Pruebe que dados n puntos no colineales en el espacio euclídeo , puede determinarse una recta que tiene exactamente dos de los puntos dados.

10  De acuerdo con  las situaciones descriptas en el  plano y en el  espacio por los siguientes gráficos, ¿ para qué valores de a, b y c, en cada caso, la recta diagonal que une los vértices A y B pasa también por C ?

 

VIII Certamen el Número de Oro. 2001
Alumnos del Profesorado

 

1 ¿Cuál es el menor múltiplo de 143 cuyo desarrollo decimal termina en 2001?

2 Con regla y compás, circunscriba a un cuadrado dado de lado a otro de lado b (es decir, cada vértice del cuadrado de lado a pertenece a un lado del cuadrado de lado b). ¿ Cuál es la relación de b con a para que el problema tenga solución ?

3 Determine los polinomios irreducibles , de la forma , que verifican la siguiente propiedad: si u es una raíz de f entonces  también lo es.

4 Consideremos los puntos del plano complejo correspondientes a las raíces duodécimas de la unidad. ¿Cuántos triángulos con la propiedad de que el producto de sus vértices sea un número real determinan?

5 Entre todos los trapecios de base menor a, base mayor b y área c, ¿cuáles son los que tienen menor perímetro y cuánto vale éste?

6 Demuestre que ninguna permutación de los 5 dígitos impares ó de los 5 dígitos pares es un cuadrado perfecto.

7 En una grilla de , ¿cuántos caminos unen el vértice inferior izquierdo con el vértice superior derecho, si los movimientos permitidos son: 1) avanzar por una arista hacia la derecha, 2) avanzar por una arista hacia arriba ó 3) avanzar en diagonal de izquierda a derecha a través de una casilla?

Sea ABCD un tetraedro cuyas aristas opuestas AB y CD, BC y DA, CA y BD tienen la misma longitud, y sean I, J, K y L los puntos medios de AB, CD, BC y DA, respectivamente. Demuestre que las rectas determinadas por (I,J) y por (K,L) son ortogonales y halle el punto de intersección.

9  Dados números naturales k y n , se eligen arbitrariamente k números en el intervalo natural . Pruebe que la probabilidad de que sean todos distintos no supera a .

10 De acuerdo con las situaciones  descriptas en el  plano y en el espacio  por los siguientes gráficos, ¿para qué valores de a, b y c, en cada caso, la recta diagonal que une los vértices A y B pasa también por C?


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