XIX Olimpíada Matemática Rioplatense
Diciembre de 2010

 

Nivel A

Primer Día

  Versión en Español

1.     2010 fósforos se disponen en escalera como se indica en la siguiente figura:

 

 

 

 

 
 

a)     ¿Cuál es el número de la escalera que contiene al último fósforo?

b)    ¿En qué nivel está la cabeza de ese último fósforo?

 

2.     Se tienen 2010 tarjetas numeradas del 1 al 2010. Se eligen todas las tarjetas que tienen escrito un número cuya suma de dígitos es impar. Hallar la suma de todos los números escritos en las tarjetas elegidas.
Nota: en el número 724 los dígitos son 7, 2 y 4, y la suma de los dígitos es 7+2+4 = 13

3.     Una hoja rectangular cuadriculada con 59×133 cuadraditos se quiere partir en la mayor cantidad posible de trozos rectangulares mediante dos cortes. Antes de cortar está permitido doblar la hoja a lo largo de líneas de la cuadrícula todas las veces que sea necesario. Luego se apoya la hoja doblada sobre la mesa y se hacen dos cortes rectos a lo largo de líneas de la cuadrícula que hayan quedado visibles después de los dobleces. Los dos cortes deben ir de lado a lado de la hoja doblada. ¿Cuál es el máximo número de trozos que se pueden obtener de este modo? Explicar cómo se hacen los dobleces y los cortes.

 Segundo Día

    Versión en Español

4.    Bibi escribió un número natural. Si se suman todos los números naturales menores que el número que escribió Bibi, se obtiene un número de tres cifras iguales. Determinar qué números pudo haber escrito Bibi.

5.     Un cubo de arista 10 se corta con tres pares de planos paralelos a las caras, y queda dividido en 27 paralelepípedos. Las aristas del paralelepípedo interior miden 1, 2 y 3; además de esto, no se sabe nada acerca de la ubicación de los cortes. Hallar la suma de los volúmenes de los 8 paralelepípedos de las esquinas del cubo.

6.     En cierto país sólo hay monedas de 11 pesos y de 13 pesos (no hay billetes). En una heladería que está por abrir hay una fila de clientes esperando. Cada cliente quiere comprar un helado y tiene exactamente 155 pesos. El helado cuesta 12 pesos. El heladero quiere atender a todos utilizando sólo el dinero que tiene en la caja. Al pagar cada cliente le entrega los 155 pesos, el heladero se cobra los 12 pesos y le devuelve al cliente la diferencia. Para iniciar las ventas, el heladero le pide al dueño de la heladería cierta suma de dinero, y sabe que éste le dará alguna suma mayor a la pedida.
¿Cuál es el mínimo monto de dinero que el heladero debe pedir al dueño para poder realizar las ventas sin importar el monto que el dueño le entregue?

 

Nivel 1

Primer Día

  Versión en Español

1.     Se considera una semicircunferencia de diámetro AB, centro O y radio . Sea C el punto del segmento AB tal que AC = . La recta l es perpendicular a AB por C y D es el punto de intersección de l y la semicircunferencia. Sean H el pie de la perpendicular trazada desde O hacia AD y E el punto de intersección de las rectas CD y OH.

a)      Calcular AD en función de .

b)     Si M y N son los puntos medios de AE y OD respectivamente, hallar la medida del ángulo MHN.

2.      En cada casilla de un tablero rectangular de 4 filas y n columnas está escrito uno de los números 1, 2 ó 3. Para cualesquiera tres columnas distintas hay una fila que corta a dichas columnas en tres casillas que contienen tres números distintos. Hallar el máximo n para el cual existe tal tablero.

3.      Hay 2k cajas (k  2) con 2k – 1 piedras en cada una. Una movida legal es elegir  2k – 2 cajas y quitarle una piedra a cada una de ellas. Los jugadores A y B juegan alternadamente; comienza A. Un jugador gana si en una de sus jugadas logra vaciar dos cajas. Determinar qué jugador tiene estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

Segundo Día

    Versión en Español

4.      Decimos que un número entero x (1 ≤ x ≤ 100) es miembro de la familia n si x tiene exactamente n divisores positivos. Por ejemplo, 12 es miembro de la familia 6 pues tiene 6 divisores positivos: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. ¿Cuál es la familia que tiene la mayor cantidad de miembros?

5.      Consideremos la siguiente secuencia de tableros