XIV Olimpíada Matemática Rioplatense
Diciembre de 2005.

 

nivel A

Primer Día

  Versión en Español

 

1.  En cierto juego se usan fichas de colores, que tienen valores diferentes. Dos fichas blancas equivalen a tres fichas amarillas, una ficha amarilla equivale a cinco fichas rojas, tres fichas rojas equivalen a ocho fichas negras y una ficha negra vale quince puntos.

a) ¿Cuántos puntos vale cada ficha?

b) Encuentre todas las maneras posibles de acumular 560 puntos usando, cada vez, no más de cinco fichas de cada color.

 

2.  Se dispone de una cantidad suficiente de piezas de los siguientes tipos:

                                         

                                                               Tipo I                  Tipo II

 

   Cada pieza consiste de doce cuadraditos de lado uno. Se quiere construir un rectángulo con piezas de los tipos I y II, utilizando por lo menos una pieza de tipo II, sin superponer las piezas y sin dejar huecos entre ellas.

   Decidir si es esto posible. En caso afirmativo, mostrar un rectángulo, y en caso negativo decir por qué no es posible.

   Nota: Las piezas se pueden girar y/o dar vuelta.

 

3.  Distribuir los números 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8, uno en cada una de las casillas de un tablero de 4 x 4 de tal forma que la suma de los números ubicados en cada una de las cuatro filas, de las cuatro columnas y de las dos diagonales sea un número primo.

   Nota: Los primeros números primos son 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31…

 

 Segundo Día

    Versión en Español

4. Tenemos sobre una mesa, una figura triangular de madera de vértices A, B y C, tal que el ángulo C mide 25º.

 

   Dejando fijo el punto A, se gira el triángulo en sentido anti-horario hasta que B, A y la posición original del vértice C queden alineados.

   Si la nueva posición del vértice C y las posiciones originales de B y C quedaron alineadas, calcular la medida del ángulo B.

   Nota: La figura no está hecha a escala.

 

5.  Se tiene una pila de 1001 caramelos. Ariel y Bernardo, por turnos, sacan caramelos de la pila, respetando las siguientes reglas:

 

   Si el que comienza el juego es Ariel, determinar cuál de los dos jugadores puede asegurarse la victoria sin importar cómo juegue el otro. Explicar de qué manera lo logra.

 

6.  Una pieza está en la casilla inferior izquierda de un tablero de ajedrez. En cada movimiento, esa pieza puede moverse hacia una casilla vecina, ya sea en dirección horizontal, vertical o diagonal.

   ¿De cuántas maneras diferentes se puede llevar la pieza a la casilla inferior derecha del tablero en exactamente siete movimientos?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nivel 1

Primer Día

  Versión en Español

  1. Paladino tiene n tarjetas numeradas de 1 a n y las divide en dos grupos (n>1). Una división es perfecta si por lo menos uno de los grupos contiene dos tarjetas tales que la suma de los números de esas tarjetas es igual al cuadrado de un número natural. ¿Cuál es el menor valor de n para el cual todas las divisiones de las n tarjetas en dos grupos son perfectas?

 

  1. Alan debe elegir un número de 37 dígitos distintos de 0 y escribirlo en el pizarrón. A continuación, Beto puede borrar algunos dígitos del número de Alan (no todos). El objetivo de Beto es que el nuevo número que quede en el pizarrón sea múltiplo de 271. Decidir si Alan puede elegir el número de modo que a Beto le resulte imposible lograr su objetivo.

 

  1. Determinar si existen enteros positivos x, y, z tales que el producto

            (x + y)(y + z)(z + x) sea igual a:
   
     a)   6767
   
     b)   7676
   
     c)   6776
En cada caso, si la respuesta es afirmativa, hallar todas las ternas ordenadas
  (x, y, z) que satisfacen la condición.

 

Segundo Día

    Versión en Español

 

  1. Hallar todos los números de la forma 11…1 que tienen un múltiplo de la forma 10…01.

Nota: 11...1 tiene todos sus dígitos iguales a 1, y 10...01 tiene el primer dígito y el último dígito iguales a 1 y todos los demás iguales a 0.

 

  1. Reemplazar cada □ por los números 1, 2, 3,…, 30, sin repetir ningún número, de tal manera que el resultado de la suma sea un número entero.

 

 

  1. Sea I el incentro de un triángulo ABC, y D el punto de intersección de AI con la circunferencia circunscrita a ABC. Sea M el punto medio de AD, y E el punto del segmento BD tal que IE es perpendicular a BD. Si IB + IE = ,  ME es paralelo a AB, y el punto M está en el interior del segmento AI, determinar la medida de los ángulos del triángulo ABC.
      Nota: El incentro de un triángulo es el punto de intersección de las bisectrices  interiores.

 

nivel 2

Primer Día

  Versión en Español

1. Sea ABC un triángulo cuyos ángulos  y  son mayores que 45º. PQRS es un cuadrado tal que P y Q están en el interior del lado AB en el orden APQB, R está en el interior del lado BC, S está en el interior del lado CA. Sean M y N los pies de las perpendiculares trazadas desde P al lado CB y desde Q al lado CA, respectivamente. Si H es la intersección de PM y QN, demostrar que CH es perpendicular a AB.

 

2. Sean a, b, c, d cuatro elementos distintos del conjunto , de modo que la suma de cada tres de ellos sea múltiplo del cuarto. Determinar el mayor valor que puede tomar .

 

3. Alrededor de una circunferencia se han escrito cierta cantidad de ceros y la misma cantidad de unos. Se sabe que hay exactamente 99 ternas de números consecutivos que contienen dos o tres ceros. Determinar el mínimo número de ternas de números consecutivos que contienen dos o tres unos.

 

Segundo Día

    Versión en Español

 4. Sea n un entero positivo tal que hay k divisores positivos de n, k>1, cuya suma es un número primo. Demostrar que el producto de esos k divisores es menor o igual que .

 

5. Sea ABC un triángulo tal que al construir exteriormente al triángulo los cuadrados ,  y , los puntos A, B y C quedan en el interior de los triángulos  y . Demostrar que los triángulos  y  tienen la misma área.   

 

6. Se desea colorear cada entero positivo con un color utilizando la mayor cantidad posible de colores de manera que se verifique la siguiente condición: Si, en notación decimal, el número B se puede obtener a partir del número A, suprimiéndole a A dos dígitos iguales consecutivos (aa) o suprimiéndole a A cuatro dígitos consecutivos que formen dos pares iguales y consecutivos (abab), entonces A y B son del mismo color.

Por ejemplo, 8, 833 y 22811 deben ser del mismo color y también 72, 676772 y 1173329898 son del mismo color.

Determinar cuál es la mayor cantidad de colores que se puede utilizar.

nivel 3

Primer Día

  Versión en Español

1. Hallar todos los números n que se pueden expresar en la forma , donde k es un entero no negativo.

Nota: ëxû denota la parte entera de x.

 

2. En el trapecio ABCD, la suma de las bases AB y CD es igual a la diagonal BD. Sea M  el punto medio de BC y E el simétrico de C respecto de la recta DM. Demostrar que

 

3. Hallar el mayor entero positivo no divisible por 10 que es múltiplo de alguno de los números que se obtienen al suprimirle dos dígitos consecutivos de su escritura decimal, ninguno de ellos en la primera o en la última posición.

 

Segundo Día

    Versión en Español

4. Sea P un punto interior al triángulo ABC. Demostrar que

,

donde R es el circunradio del triángulo ABC.

 

5. Consideramos todas las sucesiones finitas de términos positivos menores o iguales que 3 y suma mayor que 100. Para una tal sucesión a consideramos una subsucesión cuya suma S difiera lo menos posible de 100, y definimos el defecto de a por ïS-100ï. Hallar el máximo valor del defecto cuando a recorre todas las sucesiones que se están considerando.

 

6. Sea k un entero positivo. Demostrar que para todo n>k se verifica lo siguiente:

Existen figuras convexas F1,..., Fn y F tales que ningún subconjunto de k figuras elegidas entre F1,..., Fn cubre por completo a F, pero todo subconjunto de k+1 figuras elegidas entre F1,..., Fn cubre por completo a F.

 


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