XIII Olimpíada Matemática Rioplatense
Diciembre de 2004.

 

nivel A

Primer Día 

   Versión en Español 

1.  En una carrera de San Pablo a Fortaleza participaron cuatro autos, A, B, C y D, que comenzaron en el siguiente orden: primero A, segundo B, luego C y por último D. 
Durante la carrera, A y B intercambiaron posiciones (se pasaron uno al otro) 9 veces; B y C intercambiaron posiciones 8 veces. 
Para saber en qué orden llegaron a Fortaleza, se permite hacer únicamente preguntas del tipo: 
   
                     “¿Cuántas veces intercambiaron posiciones los autos X e Y?”.
Antes de formular una pregunta se conoce la respuesta de la pregunta anterior. 
Formular tres preguntas que permitan determinar el orden en el que los cuatro autos terminaron la carrera.

2.  Se tiene un tablero de 25 x 25 dividido en 625 casillas de 1  x 1. 
Decidir si es posible escribir los 625 números 1, 2, 3, ..., 625, uno en cada casilla, de tal manera que se cumplan las siguientes dos condiciones:
    -Si dos números son consecutivos, deben escribirse en casillas que comparten un lado.
    -De las 50 filas y columnas del tablero, exactamente 24 de ellas deben quedar sin cuadrados perfectos en sus casillas.
En caso de que sea posible, describir una forma de ubicar los números en el tablero. En caso de que sea imposible, explicar por qué.
Aclaración: Un cuadrado perfecto es un número que resulta de multiplicar un número entero  por sí mismo.
Por ejemplo: 1 = 1 x 1, 4 = 2 x 2, 25 = 5 x 5, 625 = 25 x 25, son cuadrados perfectos.

3.  En el  juego “El Triangulario” hay tres varillas: una de longitud 1, una de longitud 2 y una de longitud 3.
El primer jugador debe partir la varilla de longitud 3 en seis varillas de las longitudes que desee. A continuación, entre las ocho varillas resultantes, el segundo jugador debe elegir tres varillas con las que se pueda armar un triángulo que las tenga por lados. 
Si consigue hacerlo, gana el segundo jugador. En caso contrario, gana el primer jugador.
¿Cuál de los dos jugadores tiene la posibilidad de asegurarse la victoria? Explicar cómo debe proceder

  Segundo Día 

     Versión en Español 

4.  Utilizando todos los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, Sofía escribió tres números de tres cifras cada uno. Al sumar esos tres números obtuvo 1665. 
En cada uno de los tres números anteriores intercambió la cifra de las centenas con la cifra de las unidades, formando tres nuevos números de tres cifras. 
¿Cuál es la suma de estos tres nuevos números?

5. Dado un hexágono regular de área 18, se forman todos los triángulos cuyos vértices son vértices del hexágono. 
Calcular la suma de las áreas de todos esos triángulos.

6. Se tienen n cajas, cada una con 3 bolitas. Dos jugadores A y B retiran, cada uno en su turno, una bolita de una cualquiera de las cajas, empezando por A y hasta que se acaben las bolitas. 
El que se lleva la última bolita de una caja, se anota un punto.
El objetivo de cada jugador es lograr la mayor cantidad de puntos.
Si ambos juegan sin cometer errores, determinar cuántos puntos tendrá cada uno:
a) si n = 100;
b) si n = 101.

nivel 1

Primer Día 

   Versión en Español

1. Hay 4008 puntos marcados sobre una circunferencia. A 2004 de esos puntos se les asignó el número 1 y a los otros 2004 puntos, el número 2.  De esta asignación sólo se sabe que no hay tres puntos consecutivos con el mismo número.

Para cada tres puntos consecutivos sobre la circunferencia, se considera el producto de los tres números asignados a esos puntos y, a continuación, se suman todos los productos obtenidos.

Determinar todos los posibles valores de esa suma.

2.  El trapecio ABCD, de bases AB y CD y lados no paralelos BC y AD, tiene  .  La recta perpendicular a BD que pasa por C y la recta perpendicular a AC que pasa por D se intersecan en un punto sobre el lado AB. Demostrar que: 

                                                                         .

3. Determinar el menor entero positivo A tal que el producto de 999999999 por A tiene todos  sus dígitos iguales a 1.

 

Segundo Día 

     Versión en Español

4.  Sean  ABC un triángulo acutángulo, O un punto interior del triángulo y M un punto sobre el segmento  AB. Las circunferencias circunscritas a los  triángulos AOM y BOM cortan a los segmentos AC y BC en P y en N, respectivamente. Demostrar que: 

 

5. Sea  A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20}. Consideremos los subconjuntos de A formados por 10 números entre los cuales no existen dos cuya suma sea igual a 21. A cada uno de esos subconjuntos se asocia el producto de sus 10 elementos.

Calcular  la suma de los productos asociados a  todos los subconjuntos que  tienen la  propiedad anterior.

6.  Se tienen un rectángulo de 9  x  11 dividido en cuadraditos de lado 1 y una pieza de la forma 

 

 

 

 

 que cubre exactamente tres cuadraditos del rectángulo.

Determinar la menor cantidad de cuadraditos que deben pintarse para que sea imposible colocar la pieza sobre el rectángulo cubriendo exactamente tres cuadraditos no pintados. La pieza se puede girar.

 

nivel 2

Primer Día 

   Versión en Español

1.  Sean O el circuncentro del triángulo ABC, c1 la circunferencia que pasa por B y es tangente al lado AC en el punto A y c2 la circunferencia que pasa por C y es tangente al lado AB en el punto A; c1 y c2 se cortan en los puntos A y P. Demostrar que si  entonces .

2.  Encontrar todos los valores enteros estrictamente positivos de k, n y p que satisfacen la siguiente ecuación:

                                                                    .

3. Se consideran todas las sucesiones de 2004 bolitas puestas en fila tales que cada bolita es blanca, verde o roja. La operación permitida consiste en elegir 200 bolitas consecutivas de la sucesión y trasladar el bloque de las primeras 100 para colocarlas justo detrás del bloque de las segundas 100  bolitas elegidas. Dos sucesiones son equivalentes si una puede obtenerse de la otra mediante una secuencia de operaciones permitidas. Determinar cuál es la máxima cantidad de sucesiones no equivalentes.

 

Segundo Día 

     Versión en Español

4.  Dado un triángulo rectángulo ABC con  , BC=3, AC=4, sea D el punto medio de AC y sean E, F puntos de los lados AB, BC, respectivamente, tales que

, .

Calcular

5.  Se tienen 100 cajas numeradas consecutivamente de 1 a 100. En cada caja se colocan bolitas y en cada bolita se escribe un número. En cada caja debe haber bolitas de al menos 13 números distintos, y cada tres cajas consecutivas contienen bolitas de a lo sumo 21 números distintos. Determinar el máximo número de bolitas con números distintos que puede haber en las 100 cajas en conjunto. (Está permitido usar más de una bolita con el mismo número.)

6. Una línea quebrada cerrada del plano tiene 2004 vértices, entre los que no hay tres alineados. Además no hay tres de sus lados que se corten en un punto. Determinar el máximo número de entrecruzamientos que puede tener esta línea quebrada.

 

nivel 3

Primer Día 

   Versión en Español

1.  Hallar todos los polinomios P(x) de coeficientes reales tales que:

                                    ,

para todos los números reales x, y, distintos de cero

2.  Sea A={1,2,…,2004}. Encontrar el mínimo valor de n de manera que cualquier subconjunto de A de n elementos tiene dos elementos distintos a y b tales que   es un múltiplo de 2004.

3.  Sea ABCDEF un hexágono convexo tal que los triángulos ACE y BDF tienen sus circunradios iguales. Si R es el valor de esos circunradios y r es el inradio del triángulo ACE, demostrar que 

                                                   

 

Segundo Día 

     Versión en Español

4.  Determinar cuántos son los enteros n>1 tales que n divide a   para todo entero positivo x.

5.  Sobre una mesa de 5 x 8 se colocó una colección de varios círculos de cartulina ubicados sin superposiciones y sin sobresalirse de la mesa. Se sabe que el diámetro de cada círculo es menor o igual que 1. Se agrega a la colección un círculo de diámetro 2. Demostrar que la nueva colección se puede ubicar sobre una mesa de 7 x 7 sin superposiciones y sin sobresalirse de la mesa.

6.  Consideramos los primeros 900 enteros positivos 1,2,3,...,900. Hay que separarlos en 30 grupos de 30 números cada uno y luego marcar en cada grupo el quinto número de mayor a menor. Decidir si es posible lograr que, para cada grupo, la suma de los 30 números del grupo sea mayor que la suma de los 30 números marcados.

 


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