16º Olimpíada Matemática Ñandú
Certamen Nacional - 2007

 

Primer nivel

1. En la figura todos los triángulos son equiláteros. El perímetro de cada rectángulo es el cuádruple 
     del perímetro de un triángulo pequeño.  El triángulo grande tiene 90 cm de perímetro.
   
  a)    
¿Cuál es el perímetro de la figura? 
     b)    
¿Es posible dibujar una figura como esta  que tenga 2007 cm de perímetro, de modo que: 
             
todos los triángulos sean equiláteros, el perímetro de cada rectángulo sea el cuádruple del 
              perímetro de un triángulo pequeño y
todos los lados tengan longitudes enteras?  

Si es posible, indicar la longitud del lado del triángulo grande. 
Si no es posible, explicar por qué.

 

2. En la escuela los alumnos de quinto, sexto y séptimo son, en total, 349.  En séptimo grado hay 15 alumnos más que en quinto grado.  La tercera parte de los de quinto, la cuarta parte de los de sexto y  las dos  terceras partes de los de séptimo, estudian inglés. La mitad de estos están en nivel avanzado.  En las clases de inglés de nivel avanzado, hay en total 64 chicos de los tres grados. ¿Cuántos chicos hay en quinto grado, cuántos en sexto y cuántos en séptimo?

 

3. En cada punto hay que escribir un número del 1 al 12,  sin repeticiones, de manera que la suma 
de  los 
cuatro  números  de  cada  una  de  las  seis  líneas
sea la misma.Ya hay cinco números 
ubicados ( 1, 4, 6, 8  y  9). 
Ubicar los siete números que faltan.

 

Segundo  nivel

 1. Un productor almacena los 2007 kg de arroz que produce en cajas de 4 tamaños:   pequeñas, de 1 kg;  medianas, de 2 kg; grandes, de 5 kg y muy  grandes,  de 10 kg. En  las cajas  grandes  y  las pequeñas, se  almacenan, en  total, 657 kg. El número  total  de  cajas utilizadas es 348 y hay igual cantidad de cajas grandes que de cajas muy grandes.  ¿Cuántas cajas de cada tamaño utilizó?

  2. En la figura:

      . El arco  de circunferencia AB tiene centro E y radio EB.  
     
. El  triángulo ABE es isósceles y rectángulo en E.
      . BCDE y AEFG son rectángulos iguales.
      . El área del rectángulo  BCDE es  6 veces el área del triángulo DEF. 

     
. El área del sector circular AEB es 254,34 cm2.

        ¿Cuál es el área del polígono ABCDFG?

 

 3. Juan tiene 11 varillas distintas para armar cuadrados.  Las longitudes de las varillas son: 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm , 5 cm , 6 cm, 7 cm,   8 cm,  9 cm, 10 cm y 11 cm. No es obligatorio usar todas las varillas para armar un cuadrado.  Dos cuadrados son distintos si para alguno de sus lados se usan varillas  de distintas longitudes.  ¿Cuántos cuadrados distintos puede armar Juan? 

     Observación:  Los cuadrados   I) ,   II)   y   III)  se armaron utilizando las varillas:

I)                 10        -    2 y 8       9 y 1      7 y 3

II)             8 y 2    -     10       -   3 y 7   -   1 y 9

III)         10          5, 3 y 2  -   6 y 4      9 y 1

    I) y II)  son el mismo cuadrado,                II)  y III)   son cuadrados distintos

 

Tercer nivel

1. Aldo, Blas, Carlos y Dani tienen, entre los cuatro,  $ 420.  Si entre Carlos y Dani le prestaran $ 100 a Aldo y Blas juntos,  entre Aldo y Blas tendrían el triple del dinero que les quedaría a Carlos y Dani juntos.  Si entre Aldo y Dani le prestaran $ 106 a Blas y Carlos juntos,   entre Blas y Carlos tendrían el cuádruple del dinero que les quedaría a Aldo y Dani juntos.  Si entre Aldo, Blas y Carlos le prestaran $ 60 a Dani,  Dani tendría la mitad del dinero  que les quedaría a Aldo, Blas y Carlos, juntos.  ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

  2. Un grillo recorre un camino recto señalizado con postes, saltando de poste en poste.  Los postes están numerados, en forma creciente, del 1 al 14.  Sale del poste que tiene el número 1 y llega al poste que tiene el número 14,  según estas reglas:

      ¿Cuántos recorridos distintos puede hacer el grillo?

 

 3. Juan dibujó un triángulo rectángulo ABC con  Â= 90° , AB= 60 cm  y   AC= 80 cm. Sobre el lado AC  marcó un punto D;  por D trazó la paralela al lado AB  que corta al lado BC en el punto E.  Resultó que  DE = 24 cm  y  que  los triángulos ACE y ABE tenían igual perímetro. ¿Cuál es el perímetro del triángulo  ABE?   ¿Cuál es el área del triángulo ABE?


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