28° Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional. 2011

 

Primer Nivel

Problema 1

Cecilia hizo la lista de todos los números naturales de 5 dígitos que son divisibles por 37 y tienen la suma de sus dígitos igual a 37. Determinar cuántos números hay en la lista de Cecilia.


Problema 2

Sea ABC un triángulo con . El punto P en el lado AB es tal que PC = BC y el punto Q en el lado BC es tal que . El segmento CP pasa por el punto medio del segmento AQ. Hallar los ángulos del triángulo ABC.


Problema 3

Hay 7 cajas con 5 juguetes cada una. Cada juguete está coloreado de un color de modo que:

(i) Ningún color se repite en una caja.

(ii) Cada par de colores ocurre como mucho en una caja.

¿Cuál es el mínimo número de colores usado?
 

Problema 4

En una cuadrícula formada por 15 líneas horizontales y 15 líneas verticales, cada punto de corte de una línea vertical y una horizontal se colorea de azul o de rojo. Los segmentos que unen puntos vecinos de la cuadrícula (horizontal o verticalmente) se colorean de azul, de rojo o de negro de la siguiente manera. Un segmento que une dos puntos rojos se colorea de rojo; un segmento que une dos puntos azules se colorea de azul; un segmento que une dos puntos de distinto color se colorea de negro. El número de puntos azules es 71; de ellos, 20 están el borde de la cuadrícula e incluyen a exactamente uno de los 4 puntos esquina. Hay 205 segmentos negros. ¿Cuántos son los segmentos rojos?


Problema 5

En una fila hay 30 niños numerados 1, 2, …, 30 de izquierda a derecha.  Para todo niño i cuyo número i está entre 2 y 15 inclusive la cantidad de amigos con número mayor que i es igual a 1 más la cantidad de amigos con número menor que i. Para todo niño i cuyo número i está entre 16 y 29 inclusive la cantidad de amigos con número menor que i es igual a 2 más la cantidad de amigos con número mayor que i. El niño 1 tiene 19 amigos. ¿Cuántos amigos tiene el niño 30?

  
Problema 6

Entre todas las fracciones , con a y b enteros positivos y b menor o igual que 100, hallar la más cercana a .

 

Segundo Nivel

Problema 1

Se escriben en una hoja de papel todos los números naturales empezando en 1 hasta un número desconocido k, y luego se borra uno de los números escritos. El promedio de los números restantes es 25,25. ¿Cuál es el número que se borró?


Problema 2

Hay dos operaciones permitidas sobre un par a, b de enteros positivos:

(i) Sumarle 1 a cada uno de los números a y b;

(ii) Si uno de los números a, b es un cubo perfecto, reemplazarlo por su raíz cúbica.

El objetivo es obtener dos números iguales.

Hallar todos los pares iniciales a, b para los que esto es posible.


Problema 3

Sea ABC un triángulo de lados BC = 13, CA = 14, AB = 15. Denotamos I al punto de intersección de las bisectrices y M al punto medio de AB. La recta IM corta a la altura trazada desde C en P. Hallar la longitud del segmento CP.

 
Problema 4

Cada cara de un tetraedro regular de arista 2011 está dividida en  triángulos equiláteros de lado 1, mediante rectas paralelas a sus lados. Los jugadores Bruno y Mariano marcan triángulos de lado 1, por turnos, un triángulo cada vez; empieza Bruno. Cada triángulo marcado, excepto el primero, debe tener al menos un punto en común con el triángulo que marcó el oponente en su movida anterior. Ningún triángulo se puede marcar más de una vez. El jugador que no puede hacer una jugada, pierde. Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

 
Problema 5

Sean a y b enteros positivos. El resto de dividir a por 17 es igual al resto de dividir b por 19, y el resto de dividir a por 19 es igual al resto de dividir b por 17. Hallar los posibles valores del resto de dividir  por 323.


Problema 6

Un rectángulo está dividido en varios triángulos isósceles semejantes. Determinar las medidas de los ángulos de uno de tales triángulos. Hallar todas las posibilidades. 

 

Tercer Nivel

Problema 1

Para k = 1, 2, …, 2011 denotamos .

Calcular la suma .

 


Problema 2

Tres jugadores, A, B y C sacan, por turnos, piedras de una pila de N piedras. Mueven en el orden A, B, C, A, B, C, … . A comienza el juego, y pierde el juego el que saca la última piedra. Los jugadores A y C forman un equipo contra B, ellos se ponen de acuerdo en una estrategia conjunta. B puede sacar en cada jugada 1, 2, 3, 4 o 5 piedras, mientras que A y C pueden sacar, cada uno, 1, 2 o 3 piedras en cada turno. Determinar para qué valores de N tienen estrategia ganadora A y C, y para qué valores la estrategia ganadora es de B.

 

 
Problema 3

Sea ABC un triángulo con ,  y AB = 2. Los puntos P y Q de los lados AC y BC respectivamente son tales que  y . Calcular la medida del segmento QA.


Problema 4

Sea S un conjunto de enteros positivos tales que si x, y pertenecen a S y  entonces . Hallar la máxima cantidad de elementos que puede tener S.

 
Problema 5
 

Hallar todos los enteros n tales que  y  es divisible por .

 
Problema 6

Se tiene un cuadrado de lado 1 y un número  tal que . Dos jugadores A y B, por turnos, dibujan en el cuadrado un segmento abierto (sin sus dos extremos) de longitud ; empieza A. Cada segmento después del primero no puede tener puntos comunes con los segmentos dibujados previamente. Pierde el jugador que no puede realizar su jugada. Determinar si alguno de los dos jugadores tiene estrategia ganadora.

 

 


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