27 Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional. 2010

 

Primer Nivel

Problema 1

En un colegio de 5 grados hay 250 mujeres y 250 varones. Cada grado tiene 100 estudiantes.
Para una competencia hay que armar equipos formados por un varón y una mujer de un mismo grado.
Si de la composición de los estudiantes en cada grado sólo se sabe que al menos 19 de ellos son mujeres y al menos 19 de ellos son varones, hallar el mayor número de equipos que se podrán armar con certeza.
Dar un ejemplo de un colegio con esa cantidad de equipos.


Problema 2

Tres enteros positivos tienen suma igual a 1810. ¿En cuántos ceros puede terminar su producto? Dar todas las posibilidades y explicar porqué no hay más.


Problema 3

En un triángulo ABC el punto P divide al lado AB en la proporción . La mediatriz del segmento PB interseca al lado BC en el punto Q. Si se sabe que
área(PQC) = área(ABC), y que AC = 7 hallar BC.
 

Problema 4

a) Varios enteros positivos distintos tienen la propiedad de que la suma de cada tres de ellos es un número primo. ¿Cuántos pueden ser, a lo sumo, estos enteros positivos?

b) Varios enteros distintos (no necesariamente positivos) tienen la propiedad de que la suma de cada tres de ellos es positiva y es, además, un número primo. ¿Cuántos son, a lo sumo, estos enteros?


Problema 5

Una colección de pesas se puede dividir en 4 grupos de igual peso, en 5 grupos de igual peso y en 9 grupos de igual peso. Dar un ejemplo de una tal colección de pesas con la menor cantidad posible de pesas. (Se permiten pesas con pesos no enteros y pesas con el mismo peso.)

 
Problema 6

Algunas casillas de un tablero de 99 x 99 se colorean con uno de 5 colores distintos de modo que no haya casillas de distinto color en una misma fila o en una misma columna. La cantidad de casillas de cada color es la misma. ¿Cuál es el mayor número posible de casillas coloreadas?
 

Segundo Nivel

Problema 1

Algunas bolitas blancas y negras se pueden dividir en pares de modo tal que exactamente  de las bolitas blancas estén en un par mixto (con una bolita blanca y una negra) y las restantes en pares del mismo color. Y también se pueden dividir en pares de modo que exactamente  de las bolitas negras estén en un par mixto y las restantes, en pares del mismo color.

El número de bolitas blancas está entre 150 y 200. ¿Cuántas bolitas de cada color hay? Hallar todas las posibilidades.


Problema 2

¿Existe un número que sea la suma de 2345 enteros positivos con igual suma de dígitos, y sea también la suma de 5678 enteros positivos con igual suma de dígitos? (Los sumandos no tienen que ser necesariamente distintos.) Si la respuesta es afirmativa, hallar el menor de estos números. Si no, explicar el porqué.


Problema 3

Sea ABCD un trapecio con , AB > CD, lados no paralelos BC y DA, y tal que . Los puntos E y F dividen a AB en tres partes iguales; E está entre A y F. Las rectas CF y DE se cortan en P. Demostrar que .


Problema 4

Se tienen 1000 bolitas de peso 0,38 y 5000 bolitas de peso 0,038 que deben guardarse en cajas. Cada caja puede contener cualquier colección de bolitas con peso total menor o igual que 1. Hallar el mínimo número necesario de cajas.

 
Problema 5

Sea n 102010 un entero. Hallar el primer dígito después de la coma de .


Problema 6

Denominamos cruz a la pieza de 5 casillas que se obtiene de un cuadrado de 3 x 3 al quitarle las cuatro casillas de las esquinas.
Las casillas de un tablero de 2010 x 2010 se deben colorear con 5 colores distintos de modo que las 5 casillas de cualquier cruz
contenida en el tablero tengan colores diferentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer? Dos coloraciones son diferentes si hay
una casilla con un color en una coloración y un color distinto en la otra.

 

 

 

Tercer Nivel

Problema 1

Dados varios enteros, la operación permitida es reemplazar dos de ellos por su diferencia no negativa. La operación se repite hasta que queda un solo número.
Si los números iniciales son 1, 2, …, 2010, ¿cuál puede ser el último número que queda?


Problema 2

Sea ABC un triángulo con  y AC = 1. La mediana AM (M є BC) interseca a la circunferencia inscrita en los puntos P y Q, con P entre A y Q, tales que
AP
= QM. Hallar la longitud de PQ.

 
Problema 3

Los enteros positivos a, b, c son menores que 99 y satisfacen . Hallar el mínimo y el máximo valor de a + b + c.


Problema 4

Hallar la suma de todos los productos , donde  son enteros positivos distintos, menores o iguales que 101, y tales que no haya dos de ellos que sumen 101.

 
Problema 5
Se escriben 21 números en una fila. Si u, v, w son tres números consecutivos entonces . El primer número es , el último es . Hallar el 15º número.

 
Problema 6

En una fila se han escrito los números 1, 2, …, 2010. Dos jugadores, en turnos, escriben + o x entre dos números consecutivos mientras sea posible. El primer jugador gana si la suma algebraica obtenida es divisible por 3; en caso contrario, gana el segundo jugador. Hallar una estrategia ganadora para uno de los jugadores.

 

 


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