26° Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional. 2009

 

Primer Nivel

Problema 1

Rocío debe escribir en una línea 100 números no necesariamente distintos, ordenados de menor a mayor, tales que la suma de los 100 números sea igual a 10 y la suma de cualesquiera 30 de estos números sea siempre mayor o igual que 2. El objetivo de Rocío es que el número que ocupa el lugar 96 de la lista sea lo mayor posible.
Si Rocío logra su objetivo, determinar el número de la posición 96.

Problema 2

Sea ABC un triángulo escaleno, D un punto del interior del lado BC, E un punto del interior del lado CA y F un punto del interior del lado AB.

a) Si, determinar si es necesariamente cierto que D, E y F son los puntos medios de los lados de ABC.

b) Si , determinar si es necesariamente cierto que D, E y F son los puntos medios de los lados de ABC.

Problema 3

Se tiene un tablero en forma de L con 111 casillas verticales y 100 casillas horizontales (la casilla de la esquina se cuenta como horizontal y como vertical). Inicialmente hay una moneda en cada casilla. Ariel y Bruno retiran, por turnos, monedas del tablero. La movida legítima es elegir una dirección (vertical u horizontal) y en esa dirección retirar tantas monedas como se desee (por lo menos una) siempre y cuando éstas ocupen casillas consecutivas del tablero (sin casillas vacías intermedias). Pierde el jugador que retira la última moneda. Si Ariel es el que comienza el juego, determinar cuál de los dos jugadores puede asegurarse la victoria y dar una estrategia ganadora para ese jugador.

 Problema 4

Varios piratas se repartieron un botín de 1000 monedas de oro, todas iguales. Resultó que uno de los piratas se quedó con más de la mitad de las monedas. Durante la primera noche, para calmar los ánimos, el pirata que tenía más de la mitad de las monedas le dio a cada uno de los otros piratas tantas monedas como cada uno tenía. Sin embargo, nuevamente había un pirata con más de la mitad del total de monedas. La segunda noche, se repitió el procedimiento: el pirata que tenía más de la mitad de las monedas le dio a cada uno de los otros piratas tantas monedas como cada uno tenía. Y así noche tras noche, hasta que después de la décima noche ningún pirata tenía más de la mitad del total de monedas. Determinar el máximo número de piratas que pudo haber en el reparto del botín.

Problema 5
Se tiene un triángulo escaleno de papel de área 1. Demostrar que se pueden recortar del triángulo tres polígonos convexos iguales, cada uno de área mayor que .

ACLARACIÓN: Un polígono es convexo si todos sus ángulos son menores que 180º.

 Problema 6

En la recta numérica se han marcado los puntos enteros, desde 1 hasta 100 inclusive, y un grillo está parado en uno de estos puntos. El grillo realiza 100 saltos de modo que visita cada uno de los puntos y regresa al punto de partida con su último salto. Cada salto, a partir del segundo, lo hace en dirección opuesta al salto anterior. La suma de las longitudes de todos los saltos excepto los dos últimos es 4997. Hallar la suma de las longitudes de los dos últimos saltos.

Segundo Nivel

Problema 1

Se tienen 4 pilas de piedras con las siguientes cantidades: 1004, 1005, 2009, 2010. Una movida legítima consiste en quitar una piedra de cada una de tres pilas distintas. Dos jugadores A y B juegan por turnos; A comienza el juego. Pierde el jugador que, en su turno, no puede hacer una jugada legítima. Determinar cuál de los jugadores tiene estrategia ganadora y dar una estrategia para ese jugador.

Problema 2

Sea ABC un triángulo tal que  y 2AC = 3BC. Sea k la circunferencia que pasa por A y por C y es tangente a BC en C, y sea  la circunferencia que pasa por B y por C y es tangente a AC en C. El otro punto de intersección de k y  es D. La recta CD corta al lado AB en E.

Si se sabe que AD = 6, calcular AE y BE.

Problema 3

Sobre una mesa hay 88 cajas; Fredy distribuye en las cajas, a su elección, bolitas blancas y bolitas negras, tantas como quiera de cada color. A continuación, Miguel, que ve cuantas bolitas de cada clase hay en cada caja, elige 28 de las cajas. Si las cajas que eligió Miguel contienen por lo menos  del total de bolitas blancas y por lo menos  del total de bolitas negras, gana Miguel. En caso contrario, gana Fredy. Determinar si Fredy puede elegir las bolitas y distribuirlas para impedir que gane Miguel.

Problema 4

Un mago le pide a un espectador que elija 60 números enteros desde 1 hasta 120 inclusive, tales que
                     ·
su suma sea igual a la suma de los restantes números (los no elegidos);
                     ·
entre los números elegidos no haya dos que sumen 121;
                     ·
entre los elegidos no haya dos que difieran en 60.
A continuación, el mago le pide al espectador que calcule la suma de los 30 mayores números elegidos. Sin ver ninguno de los números que eligió el espectador, el mago “adivina” el resultado en forma infalible. Mostrar porqué el mago no falla y hallar el resultado de la suma que calculó el espectador.

Problema 5
Hallar el mayor entero positivo n tal que                              .

ACLARACIÓN: Los corchetes denotan la parte entera del número que encierran. Por ejemplo, ; ; .

Problema 6

Se tiene un paralelepípedo recto de 4 ´ 5 ´ 6 dividido en 120 cubitos unitarios. Los cubitos se colorean de gris, de a uno por vez, en orden arbitrario. En el momento en el que se colorea cada cubito, se escribe en él la cantidad de vecinos suyos que han sido coloreados con anterioridad. (Dos cubitos son vecinos si tienen una cara en común.) Sea S la suma de todos los números escritos al finalizar el proceso. Hallar los posibles valores de S.

 

Tercer Nivel

Problema 1

Se han marcado 2009 puntos de una circunferencia. Lucía los colorea con 7 colores distintos, a su elección. Luego Iván puede unir tres puntos de un mismo color, formando de este modo triángulos monocromáticos. Los triángulos no pueden tener puntos en común; ni siquiera vértices en común.

El objetivo de Iván es trazar la mayor cantidad posible de triángulos monocromáticos. El objetivo de Lucía es impedir lo más posible la tarea de Iván mediante una buena elección del coloreo. ¿Cuántos triángulos monocromáticos obtendrá Iván si los dos hacen lo mejor posible su tarea?

Problema 2

Diremos que un entero positivo n es aceptable si la suma de los cuadrados de sus divisores propios es igual a 2n + 4 (un divisor de n es propio si es distinto de 1 y de n). Hallar todos los números aceptables menores que 10000.

Problema 3

El trapecio isósceles ABCD de bases AB y CD tiene una circunferencia k que es tangente a sus cuatro lados. Sea T el punto de tangencia de k con el lado BC, y P el segundo punto de intersección de AT con k. Si se sabe que , calcular .

Problema 4

Se tienen 100 varillas iguales. Está permitido partir cada varilla en dos o en tres varillas más cortas, no necesariamente iguales. El objetivo es que reacomodando los trozos (y usándolos a todos) se puedan armar q > 200 nuevas varillas, todas de igual longitud. Hallar los valores de q para los que esto se puede hacer.

Problema 5

Alrededor de una circunferencia están escritos 2009 enteros, no necesariamente distintos, de modo que si dos números son vecinos su diferencia es 1 o 2. Diremos que un número es grande si es mayor que sus dos vecinos, y que es pequeño si es menor que sus dos vecinos. La suma de todos los números grandes es igual a la suma de todos los números pequeños más 1810. Determinar cuántos números impares puede haber alrededor de la circunferencia.

Problema 6

Una sucesión  es tal que  y, para cada n ³ 0, , donde m es un entero entre 2 y 9 inclusive. Además, cada entero entre 2 y 9 inclusive se ha usado al menos una vez para obtener  a partir de . Sea  la suma de los dígitos de , n = 0, 1, 2, … . Demostrar que  para infinitos valores de n.

 


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