24º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial

31 de mayo de 2007

 

PRIMER NIVEL

1. Al sumar el número de cuatro dígitos ABCD más el número de tres dígitos BCD más el número de dos dígitos CD más el número de un dígito D el resultado es 2000. Hallar los dígitos A, B, C y D, si cada letra representa un dígito distinto.

2. Se tienen 31 cajas, cada una con una o más monedas. Entre ellas hay 25 que tienen dos o más monedas, 17 que tienen tres o más monedas, 15 que tienen cuatro o más monedas, 9 que tienen cinco o más monedas y 6 que tienen seis monedas. Se sabe que ninguna caja tiene más de 6 monedas. ¿Cuántas monedas hay en total?

3. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia de centro O. Consideramos en la semicircunferencia dos puntos M y N tales que y M está en el arco . Sean P y Q en la semicircunferencia tales que OP es bisectriz del ángulo y OQ es bisectriz del ángulo . Si OM es bisectriz del ángulo , calcular la medida del ángulo .

SEGUNDO NIVEL

1. Escribir un número entero entre 1 y 9 en cada casilla, sin repeticiones, para que en cada fila la multiplicación de los tres números sea igual al número indicado a su derecha y en cada columna la multiplicación de los tres números sea igual al número indicado debajo.

2. Mauro, Nico y Pablo tienen entre los tres 490 monedas de 1 peso. Mauro gastó la quinta parte de sus monedas, Nico gastó la tercera parte de sus monedas y Pablo gastó la cuarta parte de sus monedas. Ahora los tres chicos tienen todos igual cantidad de monedas. ¿Cuántas monedas tenía inicialmente cada uno?

3. Sea ABC un triángulo equilátero y sea M un punto en el lado BC. Se traza por M la perpendicular al lado AC que corta al lado AC en P y a la recta AB en Q. Sea N el punto medio de MQ. Si y , calcular el lado del triángulo ABC.

TERCER NIVEL

1. Dividir al conjunto de los enteros positivos desde 1 hasta 100 inclusive en dos conjuntos A y B tales que A contenga 70 números, B contenga 30 números, y la suma de todos los números de A sea igual a la suma de todos los números de B.

2. Determinar todos los números reales x tales que

.

3. Sean ABC y ABD dos triángulos unidos por su lado AB. El triángulo ABC tiene y . El triángulo ABD tiene y . El segmento CD corta al segmento AB en O. Calcular BO si se sabe que .

 


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