23º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial

15 de junio de 2006

1. Hay que escribir los números enteros del 1 al 7, uno en cada casilla, sin repeticiones, de modo que la suma de los tres números de cada una de

 las tres líneas (una horizontal y dos verticales) sea la misma. Ya se escribieron el 3 y el 4. Ubicar los demás números.

2.  Emilio tiene una bolsa con dos clases de caramelos, de frutilla y de leche. Le regala la quinta parte de los caramelos de leche a su hermanito y resulta que la cantidad de caramelos de leche que quedan en la bolsa es igual a  de la cantidad de caramelos de frutilla de la bolsa. Luego le regala 56 caramelos de frutilla a sus compañeros de clase. Así, en la bolsa la cantidad de los caramelos de frutilla es igual a  de los de leche.

 ¿Cuántos caramelos de cada clase quedan en la bolsa?

3. Sean ABC un triángulo y D un punto del lado BC tal que ADB=70°  y DAC=28° . En la prolongación del lado AC se marca el punto E tal

 que     (C queda entre A y E). Calcular la medida del ángulo    .   

SEGUNDO NIVEL

1. En la tabla de la figura x, y, z representan números enteros. La suma de los cuatro números de la primera fila es igual a 78; la suma de los cuatro

 números de la cuarta fila es igual a 102 y la suma de los cuatro números de la segunda columna es igual a 81. (Tal como se indica en la figura.)

Hallar la suma de los 16 números de la tabla.

2. Un pequeño avión tarda 7 horas más que otro en ir de A a B. Las velocidades de los dos aviones son 660 km/h y 275 km/h. Calcular la

 distancia entre A y B.

3. Sea ABC un triángulo rectángulo con 

,      y     . Se traza por B la perpendicular a AC, que corta a AC en D. Sea E en el lado AC tal que . 

Se traza por E la perpendicular a AC que corta a AB en F. Calcular la medida del segmento EF.

TERCER NIVEL

1. En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 2006. Nacho borra números con el siguiente procedimiento: Recorre los

 números del pizarrón ordenadamente de menor a mayor comenzando con el 3. Borra el 3 y cada vez que llega a un número que se puede escribir

 como suma de dos números distintos que no se hayan borrado hasta ese momento, lo borra. Determinar cuántos números quedarán en el pizarrón

 cuando Nacho concluya su tarea.

2. En un parque sólo hay gatos de dos colores: completamente blancos y completamente negros. Algunos son machos y los otros, hembras.

 Los machos son el 55% del total de los gatos del parque.

La proporción entre machos blancos y machos negros es igual a la proporción entre gatos blancos y gatos negros.

Hallar la proporción entre machos blancos y hembras blancas.

3. Sea ABC un triángulo rectángulo e isósceles de hipotenusa BC. Consideramos los puntos D en el cateto AB y E en el cateto AC tales que

   y . La paralela a AC por D corta a BC en G, y la paralela a AB por E corta a BC en F.

Si el área del trapecio DEFG es igual a 10, calcular la longitud de los catetos del triángulo ABC.

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