22º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional

 

PRIMER NIVEL

1. Fede hace la lista de todos los enteros positivos de 6 dígitos que tienen la suma de los dígitos igual a 9 y cuatro de sus dígitos son 1, 0, 0, 4. Calcular cuántos números tiene la lista de Fede.

 2. Un número natural se dice amigo del 7 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 7. Por ejemplo, 9156 es amigo del 7 porque 9+1+5+6=21 que es un múltiplo de 7, 223 es amigo del 7 porque 2+2+3=7 que es un múltiplo de 7, y 706 no es amigo del 7 pues 7+0+6=13, que no es múltiplo de 7.
Hallar el menor número
n que es amigo del 7 y tal que el siguiente amigo del 7 sea n+13, es decir, que n y n+13 son amigos del 7 pero ninguno de los 12 números n
+1, n+2, ..., n+12 es amigo del 7.

 3. Sea ABCD un rectángulo de lados AB, BC, CD y DA, y sean K y L los puntos medios de los lados BC y DA, respectivamente. La perpendicular a AK trazada desde B corta a CL en M.

Calcular .

SEGUNDO NIVEL

1. Pablo sumó todos los números enteros positivos de 4 dígitos, pero se salteó uno. La suma de Pablo es igual a 8499 veces el número que se salteó Pablo. Hallar el número que se salteó Pablo.

 

2. Nacho hizo la lista de todos los múltiplos de 15 que tienen 15 dígitos, que utilizan exclusivamente los dígitos 1 y 5 y que no tienen dos 5 consecutivos. Calcular cuántos números tiene la lista de Nacho.

 

3. Sea ABC un triángulo con AB=100 y AC=156. Sea M el punto medio del lado AB. Se traza por M la perpendicular al lado AC, que corta al lado AC en K. Si AK=14, calcular el lado BC.

 

TERCER NIVEL

 1. Si a, b son números reales que satisfacen

.

Calcular . Dar todas las posibilidades.

 

2. Una progresión aritmética infinita de números enteros (positivos o negativos) es actual si  entre sus primeros diez términos hay uno igual a 1 y otro igual a 2005. Calcular cuántas son las progresiones aritméticas actuales.

ACLARACIÓN: Una progresión aritmética infinita es una sucesión tal que cada término se obtiene sumándole al anterior un número fijo que se llama diferencia de la progresión. Por ejemplo,

2, 102, 202, 302, 402, ... es una progresión aritmética infinita de diferencia 100

7, 4, 1, -2, -5, -8, ... es una progresión aritmética infinita de diferencia –3.

 

3. Sean ABCD un cuadrado de lados AB=BC=CD=DA=5 y M el punto de AB tal que 2AM=BM. Sea F el punto de intersección de las rectas DM y BC, y sea E el punto medio de DF. Calcular AE.


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