22° Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional. 2005

 

Primer Nivel

Problema 1

Mauro escribió la lista de los números de 12 dígitos con cada dígito igual a 0 ó 1 tales que la suma de los dígitos en las posiciones pares es igual a la suma de los dígitos en las posiciones impares. Determinar cuántos números tiene la lista de Mauro.
ACLARACIÓN: Todos los números de la lista tienen el primer dígito de la izquierda igual a 1.

Problema 2

Una empresa aérea tiene 9 aviones todos de distintos modelos y 13 pilotos. Entrenar a cada piloto para pilotear en cada avión cuesta $1000. Cada día se sortean 9 de los pilotos para que piloteen los aviones y los otros 4 tienen el día libre.
Hallar la mínima cantidad que se debe invertir en el entrenamiento de los pilotos de modo que se garantice que todos los aviones vuelen todos los días, independientemente de los pilotos sorteados. (Cada día, cada piloto vuela sólo en uno de los aviones.)

Problema 3

Dado un segmento de longitud d, construir con regla y compás un cuadrado en el que la diferencia entre las longitudes de la diagonal y el lado sea d.  Indicar los pasos de la construcción y explicar porqué la construcción realizada satisface las condiciones del problema.


Problema 4

Denotamos 29! al producto de los 29 enteros positivos desde 1 hasta 29, es decir,
 29!
=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16×17×18×19×20×21×22×23×24×25×26×27×28×29.
Hallar los dígitos a, b, c, d si 29!
=884176199ab3970195454361cd00000.

Problema 5

Hay 390 monedas de oro distribuidas en 30 cofres: 13 monedas en cada cofre. Cada moneda pesa un número entero de gramos, mayor o igual que 1 y menor o igual que 30 y hay 13 monedas de cada peso.
Se sabe que si dos monedas están en un mismo cofre, la diferencia entre sus pesos es menor o igual que 4 gramos. Determinar cuál es el mínimo valor posible del peso del contenido del cofre más pesado.

Problema 6

En un tablero de 3´3, cuadriculado en cuadritos de 1´1, se consideran los 16 puntos que son vértices de los cuadritos. Alan colorea de rojo algunos puntos y luego Lucía elige 3 puntos coloreados y traza el triángulo determinado por esos puntos. Alan recibe un caramelo por cada  punto coloreado, pero si el triángulo de Lucía es isósceles, Alan debe entregarle a Lucía todos los caramelos que recibió.
Determinar la máxima cantidad de caramelos que puede ganar Alan sin que Lucía se los gane al dibujar un triángulo isósceles. Indicar qué puntos puede colorear para obtener esa cantidad de caramelos y explicar por qué no puede obtener una cantidad mayor.

 

Segundo Nivel

Problema 1

La lotería de Binarilandia sortea un número de 100 dígitos 0 y 1 (puede empezar con 0). Un número será premiado si coincide en al menos 51 posiciones con el número sorteado. Determinar la menor cantidad de números que se deben jugar para tener la certeza de que al menos uno de ellos será premiado.


Problema 2

Determinar si el número 20052004 se puede escribir como suma de los cuadrados de dos enteros positivos. ¿Y 20042005?

Problema 3

Sea ABC un triángulo rectángulo e isósceles, con AB=AC. Consideramos los puntos M y N en AB tales que AM=BN. Se traza desde A la perpendicular a CM que corta a BC en P. Si , calcular la medida del ángulo .

Problema 4

Un conjunto de enteros positivos distintos se dice especial si para todo par de estos enteros, a, b, se verifica que  es un número entero (no necesariamente positivo).
Encontrar un conjunto especial de 5 números, y determinar si existe un conjunto especial de 10 números.


Problema 5

Nacho debe escribir en un tablero de 26´26 los 262=676 números enteros del 1 al 676, uno en cada casilla. Luego, Julián elige dos casillas vecinas (con un lado o un vértice común). El objetivo de Julián es que la suma de los números de esas dos casillas sea múltiplo de 4. Determinar si Nacho puede distribuir los números de modo que a Julián le sea imposible cumplir su objetivo.


Problema 6

En la recta real se colorearon todos los puntos que representan números enteros: son rojos todos los que corresponden a enteros de la forma 81x+100y, con x, y enteros positivos, y los demás enteros son azules. Demostrar que existe un punto P de la recta tal que para todo punto coloreado T, su simétrico respecto de P, que denotamos T¢, también está coloreado, y además T y T¢ son de distinto color.

 

Tercer Nivel

Problema 1

Sean a>b>c>d números enteros positivos que satisfacen

   y   .

Calcular cuántos son los valores posibles de a.

 

Problema 2

En la isla Babba utilizan un alfabeto de dos letras, a y b, y toda secuencia (finita) de letras es una palabra. Para cada conjunto P de seis palabras de 4 letras cada una, denotamos NP al conjunto de todas las palabras que no contienen ninguna de las palabras de P como sílaba (subpalabra).
Demostrar que si NP es finito, entonces todas sus palabras son de longitud menor o igual que 10, y hallar un conjunto P tal que NP sea finito y contenga por lo menos una palabra de longitud 10.

Problema 3

Sea a un número real tal que . Demostrar que a es irracional.

ACLARACIÓN: Los corchetes indican la parte entera del número que encierran.

 

Problema 4

Diremos que un entero positivo es ganador si se puede escribir como suma de un cuadrado perfecto más un cubo perfecto. Por ejemplo, 33 es ganador porque 33=52+23.
Gabriel elige dos enteros positivos, r y s, y Germán debe hallar 2005 enteros positivos n tales que para cada n, los números r
+n y s+n sean ganadores.
Demostrar que Germán siempre puede lograr su objetivo.

Problema 5

Sean AM y AN las rectas tangentes a una circunferencia G trazadas desde un punto A (M y N pertenecen a la circunferencia). Una recta por A corta a G en B y C con B entre A y C, y .

Si P es el punto de intersección de AB y MN, calcular .

Problema 6

Sea k³1 un entero. En un grupo de 2k+1 personas algunas son sinceras (siempre dicen la verdad) y las restantes son impredecibles (a veces dicen la verdad y a veces mienten). Se sabe que las impredecibles son a lo sumo k. Alguien ajeno al grupo debe determinar quién es sincero y quién impredecible mediante una secuencia de pasos. En cada paso elige dos personas A y B del grupo y le pregunta a A ¿es B sincero?
Demostrar que al cabo de 3k pasos el forastero podrá clasificar con certeza a las 2
k+1 personas del grupo.
(Antes de formular cada pregunta se conocen las respuestas de las anteriores preguntas.)

ACLARACIÓN: Cada una de las 2k
+1 personas del grupo sabe cuáles son sinceras y cuáles impredecibles.

 


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