XIX Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Regional

Primer Nivel

Problema 1

 Un barril contiene una mezcla de jugo de naranja y jugo de uva. Se le agrega al barril un litro de jugo de naranja, y así la proporción de jugo de naranja sobre el total de jugo del barril es igual a . Luego se le agrega al barril un litro de jugo de uva, y ahora la proporción de jugo de naranja sobre el total de jugo del barril es igual a . Determinar cuál era la proporción de jugo de naranja sobre el total de jugo del barril antes de realizar las dos operaciones.

Problema 2

En un triángulo ABC sea AD la altura trazada desde A. Consideramos el punto E del segmento AD tal que AE=DE, el punto F del segmento BE tal que BF=EF y el punto G del segmento CF tal que CG=FG. Si el área del triángulo ABC es igual a 36, calcular el área del triángulo EFG.

Problema 3

En un grupo de chicos, cada uno tiene exactamente un peso en monedas, pero todos tienen distintas cantidades de monedas. Determinar el máximo número de chicos que puede haber en el grupo.  
ACLARACIÓN: Hay seis clases de  monedas: 

de 1 centavo, de 5 centavos, de 10 centavos, de 25 centavos, de 50 centavos y de 1 peso.

Segundo Nivel

Problema 1

 Un tren que marcha a 72 km/h atravesará el puente que une A con B (primero pasa por A). Un rato antes de pasar por A hace sonar su bocina. En el puente hay un pájaro que cuando suena la bocina se encuentra en un punto C tal que . Si vuela hacia B llegará a B exactamente en el mismo instante que el tren, y si vuela hacia A, llegará a A en el mismo instante que el tren. Determinar a qué velocidad vuela el pájaro.

Problema 2

Pedro tiene 252 pesos en billetes de 2, de 5, de 10, de 50 y de 100 pesos, y tiene por lo menos un billete de cada clase. Se sabe que existen 252 maneras distintas de distribuir el total de los billetes entre el bolsillo derecho y el bolsillo izquierdo (incluyendo las dos posibilidades de que uno de los bolsillos esté vacío). Determinar cuántos billetes de cada clase tiene Pedro.

ACLARACIÓN: Considerar que los billetes de una misma clase no se pueden distinguir entre sí.

Problema 3

Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD tal que la diagonal AC es igual al lado BC y la diagonal BD es igual a la base AB. Si se sabe que , calcular la medida del ángulo .

 

Tercer Nivel

Problema 1

Se sabe que los cuatro números reales a, b, c, d  satisfacen las siguientes tres relaciones:

                           
   
                                
   
                                 .
Determinar el valor de .

Problema 2

Si las diagonales de un trapecio son perpendiculares, la menor de las diagonales mide 5 y la altura del trapecio mide 4, calcular el área del trapecio.

Problema 3

Un idioma exótico tiene un alfabeto de dos letras, A y B, y las palabras son todas las secuencias de letras que se forman de acuerdo con las siguientes reglas:
   
                 La única palabra de una letra es A.
   
                 Toda palabra debe tener por lo menos una letra A.
   
                 Si una palabra termina con A, entonces la secuencia de letras que resulta de suprimir esa última A no es una palabra.
Hallar todas las palabras de exactamente 4 letras, y determinar cuántas palabras de exactamente 14 letras tiene el idioma.

 

 


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