XVII Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional

13 al 17 de noviembre de 2000

 

primer nivel

1

Diez personas están sentadas alrededor de una mesa redonda. Cada una pensó un número y se lo dijo en secreto a sus dos vecinos, el de la derecha y el de la izquierda. A continuación, cada persona anunció el promedio de los dos números que escuchó. Comenzando por una de las personas y siguiendo el sentido de las agujas del reloj, las personas anunciaron los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, en ese orden. Determinar qué número había pensado cada una de las diez personas.

2

El triángulo isósceles ABC tiene AB = BC. El punto P en el lado AC, el punto Q en el lado BC y el punto R en el lado AB son tales que PQ es paralelo a AB, RP es paralela a BC y RB = AP. Si AQB = 105°, calcular las medidas de los ángulos del triángulo ABC.

3

En una ciudad hay 11 clubes, todos con distintos números de socios. Si se cerrara un club, no importa cuál sea, todos los socios del club que se cierra podrían distribuirse en los otros 10 clubes de modo tal que los 10 clubes pasaran a tener todos el mismo número de socios. Más aun, si se cerraran dos clubes, no importa cuáles, se podrían distribuir todos los socios de los dos clubes que cerraron en los otros 9 clubes de modo que los 9 clubes pasaran a tener todos el mismo número de socios.

El club Atlético es el que tiene la mayor cantidad de socios. Determinar cuál es el menor valor posible del número de socios del club Atlético.

4

Se tiene un tablero de 7 x 7, cuadriculado en cuadraditos de 1 x 1. Dividir el tablero en cinco pedazos, cortando por líneas de la cuadrícula, de modo que utilizando los cinco pedazos, y sin desperdiciar ninguno, se puedan armar al mismo tiempo tres tableros cuadrados (no necesariamente iguales). Los pedazos no se pueden superponer, y ninguno de los tres tableros puede tener huecos.

5

Hallar un número natural tal que la suma de sus dígitos sea igual a 20 y tal que si se eleva al cuadrado el número hallado, la suma de los dígitos de este nuevo número sea igual a 400.

6

Un acampante se ha perdido en un bosque con forma rectangular que tiene 100 km de largo y 1 km de ancho. El no sabe dónde están los bordes del bosque, y sólo tiene energías para caminar 2,83 km. Hallar un recorrido que le asegure salir del bosque antes de agotar sus energías. Demostrar que el recorrido hallado jamás falla, no importa cuál sea el punto de partida.

 

segundo nivel

1

Laura debe elegir números naturales, sin repetir, desde 1 hasta 2000, inclusive, de modo que ninguno de los elegidos sea igual al triple de otro de los elegidos. Determinar cuál es la mayor cantidad de números que puede elegir Laura.

2

Sean ABCD un rectángulo de lados AB, BC, CD, DA, M el punto medio de DA, N el punto medio de BC. Sea P el punto sobre la prolongación del lado CD (más próximo a D que a C) tal que CPN = 20°. Sea Q el punto de intersección de la recta PM con la diagonal AC. Calcular la medida del ángulo PNQ.

3

Hallar todas las ternas de números naturales x, y, z tales que x más el doble de y más el doble de z es igual a x por y por z, es decir,

x + 2y + 2z = xyz.

4

Iván pensó un número natural, calculó la suma de sus dígitos y luego al resultado lo elevó al cuadrado; obtuvo así su número final.

Sergio pensó un número natural, calculó la suma de sus dígitos y luego al resultado lo elevó al cuadrado; obtuvo así su número final.

Si el número final de Iván es igual al número que pensó Sergio y el número final de Sergio es igual al número que pensó Iván, determinar los posibles valores de los números que pensaron Iván y Sergio. Dar todas las posibilidades.

5

En un paralelogramo ABCD de lados AB, BC, CD, DA, llamamos M y N a los puntos medios de los lados BC y CD, respectivamente. Decidir si es posible que las rectas AM y AN dividan al ángulo BAD en tres ángulos iguales. Si la respuesta es afirmativa, dar un ejemplo de un tal paralelogramo. Si la respuesta es negativa, explicar el por qué.

6

En una circunferencia hay marcados 25 puntos. Se desea colorear cada punto con uno de los colores azul, rojo o verde, de manera que en cada arco comprendido entre dos puntos de un mismo color, la cantidad de puntos de los otros dos colores (sumados) sea siempre par. Es decir, siempre entre dos puntos rojos, la cantidad de puntos azules más la cantidad de puntos verdes es par y puede haber, además, cualquier cantidad de puntos rojos; siempre entre dos puntos azules, la cantidad de puntos rojos más la cantidad de puntos verdes es par y puede haber, además, cualquier cantidad de puntos azules; siempre entre dos puntos verdes, la cantidad de puntos azules más la cantidad de puntos rojos es par y puede haber, además, cualquier cantidad de puntos verdes. Determinar cuántas coloraciones distintas se pueden lograr.

 

tercer nivel

1

Se escriben en sucesión los números naturales, formando una secuencia de dígitos

12345678910111213141516171819202122232425262728293031 ...

Determinar cuántas cifras tiene el número natural que contribuye a esta secuencia con el dígito de la posición 102000.

ACLARACION: El número natural que contribuye a la secuencia con el dígito de la posición 10 tiene 2 cifras, porque es el 10; el número natural que contribuye a la secuencia con el dígito de la posición 102 tiene 2 cifras, porque es el 55.

2

Dado un triángulo ABC con el lado AB mayor que el BC, sean M el punto medio de AC y L el punto en el que la bisectriz del ángulo B corta al lado AC. Se traza por M la recta paralela a AB, que corta a la bisectriz BL en D, y se traza por L la recta paralela al lado BC que corta a la mediana BM en E. Demostrar que ED es perpendicular a BL.

3

Se tiene un tablero de 32 filas y 10 columnas. Pablo escribe en cada casilla 1 ó -1. Matías, con el tablero de Pablo a la vista, elige una o varias columnas, y en cada una de las columnas elegidas, cambia todos los números de Pablo por sus opuestos (donde hay 1 pone -1 y donde hay -1 pone 1). En las demás columnas, deja los números de Pablo.

Matías gana si consigue que su tablero quede con cada una de las filas distinta de todas las filas del tablero de Pablo. En caso contrario, es decir, si alguna fila del tablero de Matías es igual a alguna fila del tablero de Pablo, gana Pablo.

Si los dos juegan a la perfección, determinar cuál de los dos tiene asegurada la victoria.

4

Determinar cuál es la cantidad de pares de números naturales (a, b) que verifican simultáneamente que 4620 es múltiplo de a, 4620 es múltiplo de b y b es múltiplo de a.

5

Un programa de computadora genera una sucesión de números con la siguiente regla: el primer número lo escribe Camilo; a partir de entonces, el programa calcula la división entera del último número generado por 13; obtiene así un cociente y un resto. La suma de ese cociente más ese resto es el siguiente número generado. Por ejemplo, si el número de Camilo es 5291, la computadora hace 5291 = 193 . 18 + 17, y genera el 310 = 293 + 17. El siguiente número generado será 21, pues 310 = 17 . 18 + 4 y 17 + 4 = 21; etc.

Cualquiera sea el número inicial de Camilo, a partir de algún momento, la computadora genera siempre un mismo número.

Determinar cuál es ese número que se repetirá indefinidamente, si el número inicial de Camilo es igual a 2110.

6

Se tiene un triángulo equilátero de papel de área 9 y se lo dobla en dos, siguiendo una línea recta que pasa por el centro del triángulo y no contiene ningún vértice del triángulo. Queda así un cuadrilátero en el que se superponen los dos pedazos, y tres triángulos sin superposiciones. Determinar el mínimo valor posible del área del cuadrilátero de la superposición.

 


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