IX Olimpíada de Mayo

Mayo de 2003

 

primer nivel

PROBLEMA 1

Pedro escribe todos los números de cuatro cifras distintas que se pueden armar con dígitos a, b, c,  d, que cumplen las siguientes condiciones:

                                    .

Calcula la suma de todos los números que escribió Pedro.

 

PROBLEMA 2

El triángulo ABC es rectángulo en A y R es el punto medio de la hipotenusa BC. Sobre el cateto mayor AB se marca el punto P tal que CP=BP y sobre el segmento BP se marca el punto Q tal que el triángulo PQR es equilátero. 
Si el área del triángulo ABC es 27, calcula el área del triángulo PQR.


PROBLEMA 3

Determina el menor número entero positivo que termina en 56, es múltiplo de 56 y tiene la suma de sus dígitos igual a 56.

PROBLEMA 4

Celia elige un número n y escribe la lista de los números naturales desde 1 hasta n:
   
                                             1, 2, 3, 4, ..., n-1, n.

En cada paso, cambia la lista: copia el primer número al final y borra los dos primeros.
Después de n
-1 pasos quedará escrito un único número.
Por ejemplo, para n
=6 los cinco pasos son:

                                           

y queda escrito el número 5.
Celia eligió un número n entre 1000 y 3000 y después de n
-1 pasos quedó escrito el número 1.
Determina todos los valores de n que pudo haber elegido Celia.

Justifica por qué esos valores sirven, y los demás no.


PROBLEMA 5

Se tiene un tablero cuadriculado de 4 x 4. Definimos la separación entre dos casillas como el menor número de movidas que debe emplear un caballo de ajedrez para ir de una casilla a la otra (utilizando movimientos del caballo). Tres casillas A, B, C forman un trío bueno si las tres separaciones entre A y B, entre A y C y entre B y C son iguales. Determina el número de tríos buenos que se forman en el tablero.

ACLARACIÓN: En cada movida el caballo se desplaza 2 casillas en dirección horizontal más una casilla en dirección vertical o se desplaza 2 casillas en dirección vertical más una casilla en dirección horizontal.

 

segundo nivel

PROBLEMA 1

Se eligen cuatro dígitos a, b, c, d distintos entre sí y distintos de cero y se escribe la lista de todos los números de cuatro cifras que se obtienen intercambiando de lugar los dígitos a, b, c, d.
¿Qué dígitos hay que elegir para que la lista tenga la mayor cantidad posible de números de cuatro cifras que sean múltiplos de 36?

 

PROBLEMA 2

Sea ABCD un rectángulo de lados AB=4 y BC=3. La perpendicular a la diagonal BD trazada por A corta a BD en el punto H. Denotamos M al punto medio de BH y N al punto medio de CD. Calcula la medida del segmento MN.

PROBLEMA 3

Halla todos los pares de números enteros positivos   tales que   es múltiplo de a es múltiplo de b.

PROBLEMA 4

Beto marcó 2003 puntos verdes en el plano, de manera que todos los triángulos con sus tres vértices verdes tienen área menor que 1.
Demuestra que los 2003 puntos verdes están contenidos en un triángulo T de área menor que 4.

 

PROBLEMA 5

Una hormiga que está en una arista de un cubo de lado 8, debe realizar un recorrido por la superficie del cubo y regresar al punto de partida. Su camino debe contener puntos interiores de las seis caras del cubo y debe visitar sólo una vez cada cara del cubo. Halla la longitud del camino más corto que puede realizar la hormiga y justifica por qué es el camino más corto.


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