VIII Olimpíada de Mayo

Mayo de 2002

 

primer nivel

PROBLEMA 1

Un grupo de hombres, algunos de ellos acompañados por  su esposa, gastaron 1000 dólares en un hotel. Cada hombre gastó 19 dólares y cada mujer 13 dólares. 
Determina cuántas mujeres y cuántos hombres había.

 

PROBLEMA 2

Una hoja rectangular de papel (blanca de un lado y gris del otro) fue doblada tres veces, como lo muestra la figura:

   

El rectángulo 1, que quedó de color blanco luego del primer doblez, tiene 20 cm más de perímetro que el rectángulo 2, que quedó blanco luego del segundo doblez, y éste a su vez tiene 16 cm más de perímetro que el rectángulo 3, que quedó blanco luego del tercer doblez. Determina el área de la hoja.

PROBLEMA 3

Mustafá compró una gran alfombra. El vendedor midió la alfombra con una regla que supuestamente medía un metro. Como resultó de 30 metros de largo por 20 metros de ancho, le cobró 120000 rupias. Cuando Mustafá llegó a su casa midió nuevamente la alfombra y se dio cuenta que el vendedor le había cobrado 9408 rupias de más. ¿Cuántos centímetros mide la regla que usó el vendedor?

PROBLEMA 4

En un banco sólo el director conoce la combinación de la caja fuerte, que es un número de cinco dígitos. Para respaldar esta combinación se da a cada uno de los diez empleados del banco un número de cinco dígitos. Cada uno de estos números de respaldo tiene en una de las cinco posiciones el mismo dígito que la combinación y en las otras cuatro posiciones un dígito diferente del que tiene en ese lugar la combinación. Los números de respaldo son:  07344, 14098, 27356, 36429, 45374, 52207, 63822, 70558, 85237, 97665.
¿Cuál es la combinación de la caja fuerte?

PROBLEMA 5

Halla el máximo número de cajitas de 3´5´7 que se pueden colocar dentro de una caja de 11´35´39. Para el número hallado, indica cómo  ubicarías esa cantidad de cajitas dentro de la caja.

 

segundo nivel

PROBLEMA 1

Utilizando cubitos blancos de lado 1 se armó un prisma (sin huecos).
Se pintaron de negro las caras del prisma. Se sabe que los cubitos que quedaron  con exactamente 4 caras blancas son 20 en total. Determina cuáles pueden ser las dimensiones del prisma. Da todas las posibilidades.

 

PROBLEMA 2

Sea k un número entero positivo fijo,  k  £  10.  
Dada una lista de diez números, la operación permitida es: elegir  k  números de la lista, y sumarle 1 a cada uno de ellos. Se obtiene así una nueva lista de diez números.
Si inicialmente se tiene la lista  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,  determina los valores de  k  para los que es posible, mediante una secuencia de operaciones permitidas, obtener una lista que tenga los diez números iguales.
En cada caso indica la secuencia.


PROBLEMA 3

En un triángulo ABC,  rectángulo en A e  isósceles, sea D un punto del lado AC (D¹A y D¹C) y sea E el punto de la prolongación del lado BA tal que el triángulo ADE es isósceles. Si P es el punto medio del segmento BD, R es el punto medio del segmento CE y Q el punto en donde se cortan las rectas ED y BC, demuestra que el cuadrilátero ARQP es un cuadrado.


PROBLEMA 4

Los vértices de un polígono regular de 2002 lados están numerados del 1 al 2002, en sentido horario. Dado un entero n, 1 £ n £ 2002, se colorea de azul el vértice n, luego, siguiendo el sentido horario, se cuentan n vértices comenzando en el siguiente de n, y se colorea de azul el número n. Y así sucesivamente, a partir del vértice que sigue al último vértice que se ha coloreado, se cuentan n vértices, coloreados o sin colorear, y al número n se lo colorea de azul. Cuando el vértice que toca colorear ya es azul, el proceso se detiene. Denotamos P(n) al conjunto de vértices azules que se obtienen con este procedimiento cuando se comienza por el vértice n. Por ejemplo, P(364) está formado por los vértices 364, 728, 1092, 1456, 1820, 182, 546, 910, 1274, 1638 y 2002.
Determina todos los enteros n, 1 £ n £ 2002, tales que P(n) tiene exactamente 14 vértices.


PROBLEMA 5

Dados x e y enteros positivos, consideramos una cuadrícula de x ´ y, que tiene coloreados de rojo los (x + 1)×(y + 1) puntos que son vértices de cuadraditos. Inicialmente hay una hormiga en cada uno de los puntos rojos. En un instante dado, todas las hormigas comienzan a caminar por las líneas de la cuadrícula, y todas lo hacen con la misma velocidad. Cada vez que llegan a un punto rojo, giran 90o en alguna dirección.
Determina todos los valores de x e y para los cuales es posible que las hormigas continúen moviéndose indefinidamente de manera  que en ningún momento haya dos o más hormigas en un mismo punto rojo. (No interesan las posibles coincidencias en puntos de las líneas de la cuadrícula que no son rojos.)


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