II Olimpíada de Mayo

Mayo de 1996

 

primer nivel

PROBLEMA 1

Un terreno (ABCD) tiene forma de trapecio rectangular; el ángulo en A mide 90º. AB mide 30 m; AD mide 20 m y DC mide 45 m. Este terreno se tiene que dividir en dos terrenos de igual área trazando una paralela al lado AD. ¿A qué distancia de D hay que trazar la paralela?

 

 

 

PROBLEMA 2

Considerando los números naturales de tres cifras, ¿en cuántos de ellos al sumar dos de sus cifras se obtiene el doble de la restante? Justifica tu respuesta

PROBLEMA 3

A y B son dos recipientes cilíndricos que contienen agua. La altura de agua en A es 1000 cm y en B, 350 cm. Utilizando una bomba, se transfiere agua desde A hacia B.
Se nota que, en el recipiente A, la altura del agua disminuye 4 cm por minuto y en B aumenta 9 cm por minuto.
¿Después de cuánto tiempo, desde que se comenzó a utilizar la bomba, las alturas en A y en B serán iguales?

PROBLEMA 4

(a) En este dibujo, hay tres casillas en cada lado del cuadrado. Ubica un número natural en cada una de las casillas de modo que la suma de los números de dos casillas contiguas sea siempre impar.

 

 

(b) En este dibujo, hay ahora cuatro casillas en cada lado del triángulo. Justifica por qué no se puede ubicar un número natural en cada casilla de modo que la suma de los números de dos casillas contiguas sea siempre impar.

 

 

 

(c) Si dibujas ahora un polígono de 51 lados y en cada lado ubicas 50 casillas, cuidando que en cada vértice haya una casilla.
¿Puedes ubicar un número natural en cada casilla de modo que la suma de los números de dos casillas contiguas sea siempre impar? ¿Por qué?

PROBLEMA 5

En un juego electrónico de preguntas y respuestas, por cada acierto del jugador se le suman 5 puntos en la pantalla, por cada respuesta incorrecta se le restan 2 puntos y cuando el jugador no contesta, no se suma ni se resta puntaje.
Cada partido tiene 30 preguntas.
Francisco jugó 5 partidos y en todos obtuvo la misma cantidad de puntos, mayor que cero, pero la cantidad de aciertos, errores y preguntas no respondidas en cada partido fue diferente.
Dar todos los posibles puntajes que pudo obtener Francisco.

 

segundo nivel

PROBLEMA 1

En un rectángulo ABCD, AC es una diagonal.
Una recta r se mueve paralelamente a AB, formando dos triángulos opuestos por el vértice, interiores al rectángulo.
Prueba que la suma de las áreas de dichos triángulos es mínima cuando r pasa por el punto medio del segmento AD.

PROBLEMA 2

Uniendo 153 = 3375 cubitos de 1 cm3 se pueden construir cuerpos de 3375 cm3 de volumen. Indica cómo se construyen dos cuerpos A y B con 3375 cubitos cada uno y tales que la superficie lateral de B sea 10 veces la superficie lateral de A.


PROBLEMA 3

Natalia y Marcela cuentas de 1 en 1 empezando juntas en 1, pero la velocidad de Marcela es el triple que la de Natalia (cuando Natalia dice su segundo número, Marcela dice el cuarto número). Cuando la diferencia de los números que dicen al unísono es alguno de los múltiplos de 29, entre 500 y 600, Natalia sigue contando normalmente y Marcela empieza a contar en forma descendente de tal forma que, en un momento, las dos dicen al unísono el mismo número. ¿Cuál es dicho número?


PROBLEMA 4

Sea ABCD un cuadrado y F un punto cualquiera del lado BC; se traza por B la perpendicular a la recta DF que corta a la recta DC en Q.
¿Cuánto mide el ángulo ?


PROBLEMA 5

Se tiene una cuadrícula de 10 x 10. Un “movimiento” en la cuadrícula consiste en avanzar 7 cuadrados a la derecha y 3 cuadrados hacia abajo. En caso de salirse por un renglón se continúa por el principio (izquierda) del mismo renglón y en caso de terminarse una columna se continúa por el principio de la misma columna (arriba). ¿Dónde se debe empezar para que después de 1996 movimientos terminemos en una esquina?

 


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