16° Olimpíada de Mayo

8 de mayo de 2010

 

Primer nivel

 


PROBLEMA 1

Un recipiente cerrado con forma de paralelepípedo rectángulo contiene 1 litro de agua. Si el recipiente se apoya horizontalmente sobre tres caras distintas, el nivel del agua es de 2 cm, 4 cm y 5 cm. Calcula el volumen del paralelepípedo. 


PROBLEMA 2

En la etapa 0 se escriben los números:   1 , 1.

En la etapa 1 se intercala la suma de los números: 1, 2 , 1.

En la etapa 2 entre cada par de números de la etapa anterior se intercala la suma de ellos:  1, 3, 2, 3, 1.

Una etapa más: 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1.

¿Cuántos números hay en la etapa 10?

¿Cuál es la suma de todos los números que hay en la etapa 10?


PROBLEMA 3

¿Es posible colorear los enteros positivos con tres colores de modo que siempre que se suman dos números de colores distintos, el resultado de su suma sea del tercer color? (Hay que usar los tres colores.) Si la respuesta es afirmativa, indica un posible coloreo; si no, explica el porqué.


PROBLEMA 4

Halla todos los números naturales de 90 dígitos que son múltiplos de 13 y tienen los primeros 43 dígitos iguales entre sí y distintos de cero, los últimos 43 dígitos iguales entre sí, y los 4 dígitos del medio son 2, 0, 1, 0, en ese orden.


PROBLEMA 5

En un tablero de 2x7 cuadriculado en cuadritos de 1x1 se consideran los 24 puntos que son vértices de los cuadritos. Juan y Matías juegan sobre este tablero. Juan pinta de rojo igual cantidad de puntos en cada una de las tres líneas horizontales. Si Matías puede elegir tres puntos rojos que sean vértices de un triángulo acutángulo, Matías gana el juego. ¿Cuál es la máxima cantidad de puntos que puede colorear Juan para asegurarse de que Matías no gane? (Para el número hallado, da un ejemplo de coloreo que le impida ganar a Matías y justifica por qué si el número es mayor, Matías siempre puede ganar.)

 

 

Segundo nivel

 

PROBLEMA 1

Determina el menor entero positivo que tiene todos sus dígitos iguales a 4, y es múltiplo de 169.

 

PROBLEMA 2

Consideramos el rectángulo ABCD y la circunferencia de centro D y radio DA, que corta a la prolongación del lado AD en el punto P. La recta PC corta a la circunferencia en el punto Q y a la prolongación del lado AB en el punto R. Demuestra que QB = BR.
 

PROBLEMA 3

Hallar el mínimo  para el cual existen k números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es un cuadrado.

 

PROBLEMA 4

Sea n un entero tal que 1 < n < 2010. Dado un polígono regular de 2010 lados y n monedas, debemos colorear los vértices del polígono utilizando n colores dados, y luego ubicar las n monedas en n vértices del polígono. A continuación, cada segundo, todas las monedas se desplazan al vértice vecino, girando en el sentido de las agujas del reloj.
Determina los valores de n para los que es posible hacer la coloración y elegir las posiciones iniciales de las monedas, de manera que en todo momento las n monedas estén todas en vértices de distinto color.
 

PROBLEMA 5

Se tienen las siguientes piezas: un rectángulo de 4x1, dos rectángulos de 3x1, tres rectángulos de 2x1 y cuatro cuadrados de 1x1. Ariel y Bernardo juegan el siguiente juego en un tablero de nxn, donde n es un número que elige Ariel. En cada movida, Bernardo recibe de Ariel una pieza R. A continuación Bernardo analiza si puede colocar R en el tablero de modo que no tenga puntos en común con ninguna de las piezas colocadas anteriormente (ni siquiera un vértice común). Si existe una tal ubicación para R, Bernardo debe elegir una de ellas y ubicar R. El juego se detiene si es imposible ubicar R de la manera explicada, y Bernardo gana. Ariel gana sólo si se han colocado las 10 piezas en el tablero.
a) Supongamos que Ariel le da las piezas a Bernardo en orden decreciente de tamaño. ¿Cuál es el menor n que le garantiza a Ariel la victoria?
b) Para el n hallado en a), si Bernardo recibe las piezas en orden creciente de tamaño, ¿tiene Ariel garantizada la victoria?
ACLARACIÓN: Cada pieza debe cubrir exactamente un número de cuadrados unitarios del tablero igual a su propio tamaño. Los lados de las piezas pueden coincidir con partes del borde del tablero.


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