10° Olimpíada de Mayo

8 de Mayo de 2004

 

primer nivel

PROBLEMA 1

Javier multiplica cuatro dígitos, no necesariamente distintos, y obtiene un número terminado en 7. Determina cuánto puede valer la suma de los cuatro dígitos que multiplica Javier. Da todas las posibilidades.

PROBLEMA 2

En el interior de un cuadrado de 11´11, Pablo dibujó un rectángulo y prolongando sus lados dividió al cuadrado en 5 rectángulos, como muestra la figura.

Sofía hizo lo mismo, pero además logró que las longitudes de los lados de los 5 rectángulos sean números enteros entre 1 y 10, todos distintos.

Muestra una figura como la que hizo Sofía.

PROBLEMA 3

En cada casilla de un tablero de 5´5 está escrito 1 ó -1. En cada paso se reemplaza el número de cada una de las 25 casillas por el resultado de la multiplicación de los números de todas sus casillas vecinas.

Inicialmente se tiene el tablero de la figura.

Muestra cómo queda el tablero al cabo de 2004 pasos.

ACLARACIÓN: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.

PROBLEMA 4

En un cuadrado ABCD de diagonales AC y BD, llamamos O al centro del cuadrado. Se construye un cuadrado PQRS de lados paralelos a los del ABCD con P en el segmento AO, Q en el segmento BO, R en el segmento CO, S en el segmento DO.

Si área(ABCD)=2área(PQRS) y M es el punto medio del lado AB, calcula la medida del ángulo . (No vale medir.)

PROBLEMA 5

Se tienen 90 tarjetas y en cada una están escritos dos dígitos distintos: 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 12, y así siguiendo hasta 98.

Un conjunto de tarjetas es correcto si no contiene ninguna tarjeta que tenga el primer dígito igual al segundo dígito de otra tarjeta del conjunto.

Llamamos valor de un conjunto de tarjetas a la suma de los números escritos en cada tarjeta.

Por ejemplo, las cuatro tarjetas 04, 35, 78 y 98 forman un conjunto correcto y su valor es 215, pues 04+35+78+98=215.

Encuentra un conjunto correcto que tenga el mayor valor posible. Explica por qué es imposible lograr un conjunto correcto de mayor valor.

 

segundo nivel

PROBLEMA 1

Julián escribe cinco números enteros positivos, no necesariamente distintos, tales que su producto sea igual a su suma. ¿Cuáles pueden ser los números que escribe Julián?

PROBLEMA 2

La mamá de Pepito quiere preparar n paquetes de 3 caramelos para regalar en la fiesta de cumpleaños, y para ello comprará caramelos surtidos de 3 sabores distintos. Puede comprar cualquier número de caramelos pero no puede elegir cuántos son de cada gusto. Ella quiere poner en cada paquete un caramelo de cada sabor, y si esto no es posible usará sólo caramelos de un sabor y todos los paquetes tendrán 3 caramelos de ese sabor. Determina el menor número de caramelos que debe comprar para poder armar los n paquetes. Explica por qué si compra menos caramelos no tiene la certeza de poder armar los paquetes como quiere.

PROBLEMA 3

Disponemos de una mesa de billar de 8 metros de largo y 2 metros de ancho, con una única bola en su centro. La lanzamos en línea recta y, tras recorrer 29 metros, se detiene en una esquina de la mesa. ¿Cuántas veces ha rebotado la bola contra los bordes de la mesa?

Nota: Cuando la bola rebota contra un borde de la mesa los dos ángulos que forma su trayectoria con el borde de la mesa son iguales.

PROBLEMA 4

Halla todos los números naturales x, y, z que verifican simultáneamente

x×y×z=4104

x+y+z=77

PROBLEMA 5

Sobre un tablero de 9´9, dividido en casillas de 1´1, se colocan, sin superposiciones y sin sobresalirse del tablero, piezas de la forma

Cada pieza cubre exactamente 3 casillas.

(a) A partir del tablero vacío, ¿cuál es la máxima cantidad de piezas que se pueden colocar?

(b) A partir del tablero con 3 piezas ya colocadas como muestra el diagrama siguiente,

¿cuál es la máxima cantidad de piezas que se pueden colocar?


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