51° Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

29 y 30 de abril de 2010

PRIMER DÍA

1. En un torneo de fútbol juegan 8 equipos, todos contra todos una sola vez. En este torneo resultó que si dos equipos empataron el partido en el que se enfrentaron, entonces finalizaron el torneo con distinta cantidad de puntos. Determinar la mayor cantidad de empates que pudo haber en el torneo. (Cada equipo recibe 3 puntos por partido ganado y 1 punto por partido empatado.)

2.
Sea ABC un triángulo isósceles en A. La circunferencia inscrita es tangente a BC, AC y AB en D, E y F, respectivamente. Sea P en el arco  que no contiene a D. Sea Q el punto de intersección de BP y la circunferencia inscrita de ABC. Las rectas EP y EQ cortan a la recta BC en M y N respectivamente. Demostrar que los puntos P, F, B y M pertenecen a una circunferencia y que


3.
Hallar todas las funciones f de los reales en los reales tales que

para todos x, y reales.


SEGUNDO DÍA

4. El tablero del juego es un rombo de lado n con ángulos de 60º y 120º, dividido en 2n2 triangulitos equiláteros mediante paralelas a los lados y paralelas a la diagonal menor del rombo.
Ariel usa una ficha roja y Seba una ficha azul que inicialmente están una en cada una de las casillas de las esquinas donde el tablero forma ángulos de 60º. Los jugadores mueven por turnos sus fichas a una casilla vecina (con un lado común). Un jugador gana el juego si logra comer la ficha del otro cayendo en la casilla en la que está la ficha de su oponente, o si llega a la casilla opuesta a la de su salida antes que su rival haga lo propio.
Si Ariel es el que hace la primera jugada, determinar cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora. 

5. Sean p y q números primos. Se define la sucesión  por, ,  y   para n mayor o igual a 2.

Se sabe que  para algún k. Hallar p y q.

6. Demostrar que si , con  enteros, (o sea, 2010 se escribe como suma de r enteros mayores o iguales que 2) entonces el conjunto {1, 2, 3, …, 2010} de los enteros del 1 al 2010 se puede dividir en r conjuntos  que tienen respectivamente  elementos, y tales que en cada conjunto de la subdivisión la suma de todos los números es divisible por 2011.
Decidir si la misma propiedad es válida si se reemplaza 2010 por 2011 y el conjunto que se debe dividir es el de los enteros entre 1 y 2011, {1, 2, 3, …, 2011}.
Sea M = {1, 2, 3, ..., 10000}. Demostrar que existen 16 subconjuntos de M tales que: para cada a Î M es posible elegir 8 de esos subconjuntos tales que su intersección es {a}.

 


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