41 Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

1º y 2 de junio de 2000

 

PRIMER DIA (1/6/00)

1

Se considera la grilla de todos los puntos P = (a,b) del plano que tienen las dos coordenadas enteras (a es entero y b es entero). Hay que pintar de rojo algunos puntos de esta grilla de modo que se verifiquen simultáneamente las siguientes dos condiciones:

Determinar el máximo número de puntos de la grilla que se pueden pintar de rojo.

2

Decimos que un número natural es alternado de orden n si sus últimas n cifras se alternan en paridad. Por ejemplo, son alternados de orden 4 los números 1092, 6721, 541092, 31092, y no son alternados de orden 4 los números 8072, 3418072, 7123345, 125.

Demostrar que para cada entero positivo n existe un entero positivo k tal que 5k es un número alternado de orden n.

3

Sean ABC un triángulo obtusángulo con C>90º, D un punto del lado BC y O el punto medio de AD.

Sean M y N en OD y OC, respectivamente, tales que MN es paralelo a BC y AN = 20M. Denotamos P al punto de intersección entre CM y la paralela a AC trazada por O. Demostrar que AP es bisectriz del ángulo MAN.

 

SEGUNDO DIA (2/6/00)

4

Sean ABCDEF un hexágono, no necesariamente regular, y S una circunferencia tangente a los seis lados del hexágono, tal que S es tangente a AB, CD y EF en sus puntos medios P, Q y R, respectivamente. Si X, Y, Z son los puntos de tangencia de S con BC, DE y FA, respectivamente, demostrar que PY, QZ y RX son concurrentes.

5

Juan y Pablo juegan, por turnos, al siguiente juego: cada uno, en su turno, escribe un número natural que sea divisor positivo de 100! y que no haya sido escrito antes. Después de cada jugada, se calcula el máximo común divisor de todos los números escritos, y si este máximo común divisor es igual a 1, el juego ha terminado y perdió el jugador que escribió el último número.

Si Juan comienza el juego (escribe el primer número), ¿cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora?

ACLARACION: 100! es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta 100, es decir, 100! = 1.2.3.4..... 97.98.99.100.

6

Dados n números reales x1, x2, .... xn, sea P el producto de estos n números. Demostrar que si los n números P - x1, P - x2, ..., P - xn son todos enteros impares, entonces los n números iniciales, x1, x2, .... xn, son todos irracionales.


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