XXXIX Olimpíada Internacional de Matemática
Prueba de Selección

21 y 22 de Mayo de 1998

 

1

Sean a, b, c números reales tales que a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 1

Hallar (a^2)/(b+c) + (b^2)/(c+a) + (c^2)/(a+b).

 

2

Una sucesión a1, a2, ... , a100 de 100 números enteros positivos se llama apropiada si verifica las siguientes dos condiciones:

  1. 1=<a1=<a2=<...=<a99=<a100=<1000;

  2. aj+1- aj-1 es divisible por 3 para todo j=1, 2, ..., 99, es decir, a2-a1-1, a3-a2-1, a4-a3-1, ..., a100-a99-1 son todos divisibles por 3.

Determinar la cantidad total de sucesiones apropiadas.

 

3

Sea AB un diámetro de una circunferencia k1. Otra circunferencia, k2, tiene centro en A y corta a k1 en E y F. Se elige un punto arbitrario D en el arco EF de k1 que es interior a k2, y C es el punto de intersección entre k2 y BD. Si DE=a y DF=b, hallar DC.

 

4

Sea p un número primo impar. Para cada i=1, 2, ..., p-1, denotamos con ri al resto de dividir ip por p2. Calcular la suma

r1 + r2 + ... rp-1.

 

5

Sea ABCD un cuadrilátero convexo que tiene el lado AB igual al lado CD pero NO TIENE ningún para de lados opuestos paralelos. Sean M y N los puntos medios de los lados AD y BC respectivamente. Demostrar que el ángulo formado por las rectas MN y AB es igual al ángulo formado por las rectas MN y CD.

 

6

Se tiene una hoja de papel rectangular y n colores distintos. En una cara de la hoja hay dibujadas líneas que la dividen en n regiones y cada región está coloreada con un color distinto, como si fuera un mapa. En la otra cara de la hoja, Martín dibuja a su antojo líneas que dividen la hoja en n regiones. Jorge debe colorearlas usando los n colores con un color distinto para cada región.
Llamaremos zonas de coincidencia a las zonas de la hoja en las que el color que usó coincide con el color que hay del otro lado de la hoja.
Jorge gana si el área total de las zonas de coincidencia es mayor o igual que 1/n del área de la hoja del papel. En caso contrario, gana Martín.
Demostrar que Jorge siempre puede ganar.

 

 


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