XXXIX Olimpíada Internacional de Matemática

15 y 16 de Junio de 1998. Taipei, Taiwan

 

primer día

1

En el cuadrilátero convexo ABCD, las diagonales AC y BD son perpendiculares y los lados opuestos AB y DC no son paralelos. El punto P intersección de las mediatrices AB y DC está en el interior del cuadrilátero ABCD. Demuestre que los vértices de ABCD están en una misma circunferencia si y sólo si los triángulos ABP y CDP tienen áreas iguales.

 

2

En una competencia hay a concursantes y b jueces, con b>=3 un entero impar. Cada juez califica a cada concursante como "apto" o "no apto". Sea k un número tal que, para cada dos jueces sus decisiones coinciden a lo más en k concursantes. Demuestre que

(k/a) >= ( (b-1)/2b ).

 

3

Para cada entero positivo n denotamos por d(n) el número de divisores positivos de n (incluyendo 1 y n). Encuentre todos los enteros positivos k para los que existe algún n tal que

d(n2)/d(n) = k

 

segundo día

4

Encuentre todas las parejas de enteros positivos (a,b) tales que a2b+a+b es divisible por ab2+b+7.

 

5

Sea I el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. Esta circunferencia es tangente a los lados BC, CA y AB del triángulo en los puntos K, L y M, respectivamente. La recta paralela a MK que pasa por el punto B interseca a las rectas LM y LK en los puntos R y S, respectivamente. Demuestre que el ángulo RIS es agudo.

 

6

Sea N el conjunto de los enteros positivos. Se consideran todas las funciones f de N en N que satisfacen

f(t2 . f(s)) = s(f(t))2,

para todo s y t de N. Halle el menor valor posible de f(1998).

 

 


Archivo de Enunciados Página Principal Olimpíada Matemática Argentina
   
www.oma.org.ar | info@oma.org.ar
mensajes webmaster@oma.org.ar

 

alcohol duty free usa duty free cigarette duty free cuban cigars buy cosmetics wholesale where to buy perfumes buy tobacco online usa
duty free alcohol canada duty free cigarette wholesale duty free cigars online duty free cosmetic brands buying duty free perfume duty free tobacco buy online